Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Для построения конструктивного объекта требуется осуществить всегда конечное число тех или иных актов поведения—действий, операций. Какой характер могут носить эти акты поведения? Они могут быть реальными действиями, совершаемыми над знаками как материальными образованиями, но могут быть действиями умственными — представлениями о реальных действиях. Далее, чтобы избежать опасности (которая после обнаружения парадоксов теории множеств стала очевидной) допущения в отдельных фазах построения объекта чреватых ошибками интуитивных обобщений, требуется, чтобы эти действия имели простой, элементарный характер. Различный выбор элементарных действий — шагов процесса, приводящего к построению конструктивного объекта, определяет разные подходы к уточнению идеи вычислимости. Мы рассмотрим три таких подхода. Первый подход — рекурсивный.

Определение рекурсивной функции содержалось уже в знаменитой статье Гёделя. Позже Гёдель, а также Ж. Эрбран, развили это понятие. Но особое звучание рекурсивным функциям придал американский логик и математик Алонзо Чёрч (род. в 1903 г.).

Дадим более аккуратное, чем в предшествующей главе, определение рекурсивной функции. Оно состоит из четырех пунктов. Всюду впредь в качестве аргументов и значений функций фигурируют лишь натуральные числа 0, 1, 2, ... (такие функции называют теоретико-числовыми, или арифметическими).

Введем следующие способы (операторы) построения из арифметических функций новых арифметических функций. Эти способы предполагаются применяемыми как ко всюду определенным, так и к не всюду определенным (частичным) функциям.

I. Подстановка. Из функции получается новая функция, если вместо всех ее аргументов подставить функции^[2].

II. Примитивная рекурсия^[3]. Она заключается в получении (n + 1)-местной функции f из данных n-местной функции g и (n + 2)-местной функции h по схеме:

f(х1, х2,... хn, 0) = g(x1, х2,..., xn),

f(x1, х2,..., хn, m') = h(х1, х2,..., хn, m, f(х1, х2, ..., хn, m)).

Здесь n = 1,2, ...; для случая, когда аргументы х1, х2, ...,Хn (называемые параметрами рекурсии) отсутствуют, отдельно устанавливается f(0) =r (где r — фиксированное целое неотрицательное число), f(m') = h(m, f(m)). Здесь m'—число, непосредственно следующее за числом m в натуральном раду.

III. Мю-операция (или (-оператор). Пусть дана (n + 1)-местная функция (функция от n + 1 аргумента) g; по ней (-оператор строит n-местную функцию f следующим образом.

Для любого набора чисел х1, х2, ..., Хn f(х1, x2,... хn) равно наименьшему целому неотрицательному числу а, удовлетворяющему условию g (х1 ..., xn, а) = 0. Это число обозначается через рy(g (х1, ..., хn, у) = 0), откуда и название операции.

Если такого числа для набора чисел x1, х2, ..., хn не существует, то функция f на этом наборе не определена.

Будем считать теперь, что следующие всюду определенные функции, называемые исходными, рекурсивны.

(а) Многоместные функции (от n аргументов, n = 0, 1,2....) Nⁿ, тождественно-равные нулю, то есть функции, для которых верно:

Nⁿ (х1, х2, ..., Хn) = 0 при любых значениях аргументов.

(б) Одноместная функция S «следования за», то есть функция, для которой выполняется равенство S(х) = х' где штрих означает взятие числа, непосредственно следующего за x в натуральном ряду.

(в) n-местные проектирующие функции Iⁿi, Для которых Iⁿi{х1, .... xn) = xi ( i = 1, 2, ..., n; n = 1, 2, 3, ...).

Функции, получающиеся из исходных конечным числом применений схем порождения I и II, называются примитивно рекурсивными; как очевидно, эти функции являются всюду определенными. К примитивно рекурсивным относятся не все, а только часть арифметических функций (правда, наиболее часто встречающееся такого рода функции примитивно рекурсивны). Если разрешить применять схему порождения III, то функции, которые будут таким образом возникать, называются частично рекурсивными. Хотя частично рекурсивные функции — как и примитивно рекурсивные — в конечной счете получаются из исходных (примитивно рекурсивных) функций (а), (б), (в), они в общем случае не всюду определены; это вызывается спецификой (-оператора, который из всюду определенной может породить частичную (и даже нигде не определенную) функцию. Если частично рекурсивная функция от n аргументов является всюду определенной (то есть если она определена для любого набора из n натуральных чисел), она называется общерекурсивной функцией. Таким образом, каждая примитивно рекурсивная функция является общерекурсивной, а каждая общерекурсивная — частично рекурсивной. Однако существуют частично рекурсивные функции, не являющиеся общерекурсивными, и общерекурсивные, не являющиеся примитивно рекурсивными.

Итак, математическая часть нами изложена; перейдем к методологическому аспекту разговора. Рассмотрим характер тех действий, которые производятся при вычислении значений рекурсивных функций.