Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

3. Положим y = 2; вычислим g° (3, 2, 2). Получим:

100 - 3 • 22 = 100 3 • 4 = 100 12 = 88. Условие не выполнено. Перейдем к следующему значению у,

4. Положим y = 3; вычислим g° (3, 2, 3). Получим:

100 3 • 23 = 100 3 • 8 = 100 24 = 76. Требуемое условие не выполнено; берем следующее значение у.

5. Положим y = 4; вычислим g° (3, 2, 4). Получим:

100 3 • 24 = 100 - 3 • 16 = 100 - 48 = 52. Требуемое условие не выполнено; сделаем еще один шаг.

6. Положим y = 5; вычислим g° (3, 2, 5). Получим:

100 3 • 25 = 100 3 • 32 = 100 96 = 4. Требуемое условие не выполнено, и мы возьмем на единицу большее значение у.

7. Положим у = 6; вычислим g° (3, 2, 6). Получим:

100 3 • 26 = 100 3 • 64 = 100 192 = 0. Условие на этот раз выполнено, поэтому в качестве значения функции f° берется число 6—мы пишем: f° (3, 2) = y(g° (3, 2, 6) = 0) = 6.

Таким же образом, конечно, можно вычислить значение функции f° для любых значений двух ее аргументов.

Продемонстрированная нами серия однообразных действий показывает те «микроакции», из которых складывается мю-операция. Главная особенность вычислительного процесса данного типа состоит в том, что в качестве его кирпича фигурирует условный оператор, очень важный в кибернетике.

Условным операторам называется такое предписание, которое определяет действие не единственным образом, а предусматривает два его варианта: первый осуществляется в случае, когда условие, входящее в состав оператора, выполнено, а второй реализуется в противном случае, если условие не выполнено. Условие, конечно, должно быть таково, чтобы проверка его выполнения носила конструктивный — осуществимый по ясным правилам в течение конечного времени — характер. Можно еще сказать, что условный оператор образует «точку ветвления» процесса вычисления, зависящего от выполнения или невыполнения некоторого конструктивно проверяемого условия.

Наличие условного оператора вносит элемент своего рода неопределенности (осуществляя вычислительный процесс по схеме, содержащей такой оператор, мы не знаем заранее, на каком шаге будет выполнено заключенное в нем условие и будет ли выполнено вообще), не принятый в классической теории функций прием отыскания значений с помощью «проб и ошибок», прямым перебором натурального ряда. Однако этот элемент вполне естествен, если смотреть на математику как на результат человеческого творчества, как на процесс созидания знаковых моделей.

Перебор значений натурального аргумента с проверкой на каждом этапе простого условия не вызывает опасений в отношении своей ненадежности; во всяком случае он более надежей, чем такие процессы, санкционированные классическим анализом, как, скажем, переход к пределу или оперирование с действительными числами, большинство из которых остаются не выразимыми ни в какой символике. Каждый отдельный шаг в мю-операции общепонятен, элементарен и целиком и одновременно обозрим; акты же ветвления процессов в зависимости от выполнения условий пронизывают всю природу и человеческое поведение и всем хорошо знакомы.

Изложенные соображения и привели к мысли, что для обеспечения гарантированной работы математики без возникновения парадоксов (типа расселовского или других, не открытых еще, антиномий) следует считать осуществимыми (хотя, в общем случае, только потенциально) лишь те вычислительные процессы, которые реализуются рекурсивными функциями. Но не будет ли такое ограничение обеднять математику, лишать ее ценных вычислительных средств, которые не могут быть сведены к «композицию рекурсивных функций?

По мере углубления в проблему выяснялось, что все «обиходные» функции, принятые в анализе, выражаются через рекурсивные функции, так что в этом плане обеднения не происходит. Учитывая этот факт, А. Чёрч в 1936 году выдвинул гипотезу, получившую название тезиса Чёрча, которая может быть сформулирована следующим образом: вычислимы те, и только те, математические объекты, которые могут быть получены с помощью общерекурсивиых функций. Другими словами, Чёрч предположил, что общерекурсивных функций достаточно для реализации любой строгой и однозначно определяемой вычислительной процедуры.

В том же 1936 году С. К. Клини ввел понятие частично рекурсивной функции, с которым естественно связывается аналогичная гипотеза относительно частично рекурсивных функций (случаю, когда рекурсивная функция для некоторого набора аргументов не определена, здесь соответствует ситуация вычислительного процесса, продолжающегося неограниченно долго). Эту более общую гипотезу также нередко называют тезисом Чёрча^[5].