Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

В данной интерпретации особую роль играют тождественно-истинные высказывания. Некоторые из них выражают фундаментальные закономерности мышления. Таковы, в частности, формы высказываний ~(а & ~а) и (а V ~а) которые выражают логические законы, называемые соответственно законом противоречия и законом исключенного третьего (импликативное выражение (а → а) соответствует закону тождества)[17]. Тождественно-истинные высказывания используются для определения важного понятия логического следования. Поясним это понятие.

Среди объектов, фигурировавших при построении нашей формальной системы, смысл логического следования ближе всего передает импликация. В самом деле, когда утверждается «Из α логически следует β», имеют в виду, что не может быть, чтобы α было верно, а β неверно, то есть «Если α, то (обязательно) β». Говоря точнее, логическое следование означает, что какие бы значения ни принимали пропозициональные переменные в посылке α и заключении β, всегда верно, что «если α, то β», то есть, что форма (~α V β) —по определению записываемая импликативным выражением (α → β) — тождественно-истинна. Отсюда получается метод определения следования заключения из посылок: надо образовать импликативное выражение, в котором антецедентом является посылка (или конъюнкция посылок, если их несколько), выраженная в виде формы высказывания, а консеквентом — предполагаемое заключение, также представленное в виде формы; если полученное импликативное выражение тождественно-истинно, то предполагаемое заключение действительно является таковым, то есть логически следует из посылки (посылок), в противном случае —не является.

Покажем, как удостоверяется следование заключения из посылок на уже знакомом нам примере силлогистического модуса Celarent. Представим посылку «Ни одно B не есть С» в виде «Если А1 то не-A2» то есть (A1 → ~А2), что является сокращением для формы (~А1 V ~\А2) здесь А1 и ~A2 суть пропозициональные формы, соответствующие выражениям «Нечто принадлежит классу В» и «Нечто принадлежит классу не-С (то есть дополнению к классу С)» в высказывании «Если нечто принадлежит классу B, то оно принадлежит классу не-С», которое можно считать совпадающим по смыслу с данной посылкой. Посылку «Все A суть B», используя тот же прием, запишем в виде (А3 → А1) заключение «Ни одно A не есть С» перейдет тогда в (A3 → ~А2). Образуем импликативное выражение (((A1 → ~A2) & (А3 → А1)) → (А3 → ~А2)) и проверим с помощью таблиц истинности, является ли это выражение тождественно-истинным. Табл. 10 показывает, что оно будет таковым.

Пользование таблицами истинности для определения следования заключения из посылок, однако, весьма громоздко. При четырех пропозициональных переменных таблица будет иметь 16 строк, при пяти — 32 строки и т. д. Поэтому в логике разработаны методы аналитического обоснования следования заключения из посылок — путем преобразования формул. В нашем примере обращение к одному из аналитических методов будет выглядеть так (над знаками равенства проставлены номера шагов в получившейся цепочке равенств; наружные скобки в формулах, подвергающихся преобразованиям, опущены).

Прокомментируем каждый из тринадцати шагов, а затем подвергнем анализу результат преобразования. На шагах (1), (2) и (3) используется определение знака импликации как средства сокращенной записи формул (п. V на с. 57). В результате исследуемое импликативное выражение переходит в формулу нашего исчисления. На шаге (4) применяется первый закон Де Моргана, а на шаге (5) дважды — второй закон Де Моргана. Шаг (6) заключается в снятии двойных отрицаний. Далее, на шаге (7) происходит раскрытие скобок — применяется закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции. На шаге (8) по закону коммутативности дизъюнкции происходит перестановка членов в формулах ((A1 & А2) V A3) и ((A1 & A2) V ~A1)

На шаге (9) снова, причем дважды, применяется закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции. Шаг (10) состоит в том, что из четырехчленной конъюнкции на основании законов 17 и 14 исключается тождественно-истинный член (~А1 V A1). На шаге (11) применяется закон коммутативности дизъюнкции, а на шаге (12) происходит раскрытие скобок по закону дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции. Обращаем внимание на то, что в наших преобразованиях использовалась ассоциативность операций дизъюнкции и конъюнкции, позволившая в формах, представляющих собой многочленные дизъюнктивные либо конъюнктивные формулы, удалить все скобки (это означает, что скобки мыслятся расставленными любым допустимым, то есть не нарушающим свойства выражения «быть формулой», образом)[18].