Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Вернемся, однако, к логической интерпретации. Как мы говорили, операциям ~, &, V соответствуют отрицание, конъюнкция и (слабая, неразделительная) дизъюнкция — соединительно-разделительный союз «или». Как мы увидим ниже, при интерпретации яа классах эти операции истолковываются как взятие дополнения к классу, пересечение и объединение двух произвольных классов. В исчислении, которое разработал сам Дж. Буль и которое истолковывалось им прежде всего как теория классов (ср. ниже третью интерпретацию), использовалась не операция объединения классов, а так называемая симметрическая разность (объединение двух классов с исключением их общей части), а в случае интерпретации на высказываниях — строгая дизъюнкция, то есть операция, соответствующая союзу «или» в разделительном смысле (в разговорном языке передаваемом оборотом «или..., или», «либо..., либо»); если обозначить операцию строгой дизъюнкции знаком Û то запись (а Û β) означает, что это строго-дизъюнктивное высказывание (форма высказывания) истинно тогда, и только тогда, когда один член дизъюнкции, безразлично какой, истинен, а другой ложен. Если в перечне схем аксиом [а] изложенного нами исчисления заменить знак V всюду, где он встречается, знаком Û, то некоторые равенства станут неверными (например, «проваливаются» оба закона Де Моргана).

Это означает, что у самого Буля булевой алгебры не было. Она появляется, конечно, не в виде абстрактной алгебраической системы, а в виде содержательных интерпретаций на классах и высказываниях — лишь у Ст. Джевонса (см. выше. гл. 2). Но от Буля ведет свое начало тип алгебраических систем, переменные которых могут пониматься как двоичные переменные и формулы которых принимают только одно из тех же самых двух значений (поэтому эти переменные и формулы сейчас нередко называют булевыми). К системам такого рода принадлежит и булева алгебра. В этом смысле Буль действительно стоит у ее истоков, что и оправдывает ее название[24].

Теоретико-множественная интерпретация (на классах)

Введем в рассмотрение некоторую область предметов — универсальный класс V (ср. гл. 2). Будем рассматривать всевозможные классы (множества), состоящие из предметов универсума V, то есть его подмножества. Введем также пустой класс Л. На подмножествах множества V, включая и сами V и Л, обычным образом определим операции взятия дополнения к произвольному классу Л, пересечения двух произвольных классов A и B и их объединения (см. примечание 15 на с. 47). Истолкуем пропозициональные переменные булевой алгебры как переменные, значениями которых являются классы; операции ~, &, V будем понимать соответственно как ', ∩, ∪ и следовательно, формулы ~α, (α & β), (α V β) как формулы логики классов α', (α ∩ β) и (α ∪ β), а 1 и 0 — как V и Л. В соответствии с определением V это приведет к истолкованию выражений вида (α → β) и (α ≡ β) как совпадающих по смыслу с формулами вида (α' ∪ β) и ((α' ∪ β) ∩ (α ∪ β'))- Тогда формулы рассмотренного нами исчисления обратятся в формы классов[25], так как при всякой подстановке каких-то значений вместо всех переменных- данной формулы мы будем получать некий класс. Равенства α = β, где- α и β — формы классов, обращается в истинное высказывание, если при данной подстановке значений на места всех переменных, имеющихся в а и β, формы а и β переходят в точности в один и тот же класс[26]. Если это имеет место при любой подстановке такого рода, равенство считается верным.

Нетрудно проверить, что все 17 схем аксиом [а] при данной интерпретации оказываются верными равенствами. Возьмем, например, равенство 13. При интерпретации оно приобретает вид (а')' = а, что очевидно верно, какой бы класс ни взять в качестве а: дополнение к дополнению к данному классу совпадает с данным классом (это ясно видно из рис. 2, где класс A представлен кругом, универсальный класс — квадратом, в который помещен круг. а дополнение к классу A заштриховано). Ясно также, что пересечение любого класса A с универсальным классом есть класс Л (схема аксиом 14), и тот же результат дает его объединение с пустым классом (схема аксиом 15) и т. д.[27].

Формулы, которые при логической интерпретации оказываются тождественно-истинными формами высказываний, при данной интерпретации задают универсальный класс (аналогичное соответствие имеется между тождественно-ложными формами и классовыми формами, задающими пустой класс).

Данная интерпретация является теоретико-множественной в том смысле, что в ней используются операции над классами (множествами), однако ее можно считать и логической интерпретацией (правда, иного рода, чем интерпретация на высказываниях), поскольку множества можно считать объемами понятий (как мы увидим в дальнейшем, логика и теория множеств — при классической установке в математике и логике, о которой речь впереди, находятся между собой в органической связи).

Техническая интерпретация (на контактных схемах)