Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

3. Из второго пункта вытекает, что «классическая» логика не является чем-то первоначальным, как ошибочно полагают логицисты. В глубинной интуиции даны лишь конечные образования — натуральные числа. На каком же основании классическую логику, которая могла возникнуть лишь как отражение опыта оперирования с конечными объектами, распространяют на бесконечные множества? К бесконечным множествам не всегда применим закон исключенного третьего (принцип: из двух высказываний, одно из которых есть отрицание другого, по крайней мере одно истинно).

Этот важнейший пункт брауэровской критики классической логики и теоретико-множественной математики требует пояснения. Воспользуемся известным примером. Рассмотрим высказывание(*) «В десятичном представлении числа я либо имеется девять нулей подряд, либо не имеется». Это высказывание подпадает под схему закона исключенного третьего (а V ~а) и с «классических» позиций должно быть признано верным.

Но с точки зрения Брауэра это высказывание может иметь смысл лишь в том случае, если у нас есть способ проверить, какая из двух альтернатив — а или ~а — имеет место[3]. В данном же случае этого сделать нельзя: вычисляя значение числа π со все большей точностью, мы можем в конце концов добраться до «пакета» из девяти нулей — и тогда подтвердится первая альтернатива (что и будет означать истинность высказывания (*));но может случиться, что процесс вычисления будет продолжаться неограниченно долго — и это вовсе не будет означать справедливости второй альтернативы. Таким образом, вопрос о верности рассматриваемого высказывания (*) остается открытым. Конечно, если бы у нас было независимое от этого процесса вычисления доказательство второй альтернативы, то истинность данного суждения тоже была бы установлена. Но наука в настоящее время им не располагает. Таким образом, закон исключенного третьего как «общезначащую» логическуй схему следует отвергнуть.

Отказ от всеобщности «исключения третьего» в применении к бесконечным совокупностям влечет за собой серьезные перемены в логике. В частности, из отвержения альтернативы ~а — то есть доказательства того, что верно ~~a — заключать к верности альтернативы а по Брауэру в общем случае недопустимо[4]. Например, если предположение, что среди элементов некоторого бесконечного множества не существует объекта с определенными свойствами, ведет к нелепости (и, значит, отвергается), то отсюда, тем не менее, не следует, что объект с этими свойствами существует.

4. С предшествующим тезисом тесно связана конструктивистская установка интуиционистской математики. Поскольку принцип исключенного третьего, примененный к бесконечным множествам, не гарантирует правильности рассуждения, единственным способом доказательства существования математических объектов является их фактическое построение. Обратим внимание на этот важнейший тезис — зародыш другого современного направления в математике — конструктивное направления.

5. Хотя математика создается разумом, она приложима к окружающему миру. Математические символы не лишены содержательного смысла; хотя они указывают на определенные объекты, данные в интуиции, объекты эти тесно связаны с реальными процессами, происходящими во Вселенной. Интуицию, однако, нельзя выразить никакими строгими определениями, и поэтому интуиционисты отказываются эксплицировать общее понятие «способа построения», полагая, что невозможно заранее предвидеть все приемы рассуждения, которые могут оказаться интуитивно убедительными.

Заметим, что в этом пункте от интуиционизма резко отличается конструктивное направление в математике, всходящее из тезиса, что конструктивная деятельность в этой науке адекватно передается понятием алгоритма (см. гл. 7).

Как мы видим, если практические выводы в отношении построения математики более или менее четки (отбрасывание логицизма, ограничение логического принципа исключенного третьего, требование конструктивности доказательств существования), то учение о «глубинной интуиции» разума остается сугубо неясным. Самое большее, что мы можем сделать, чтобы пролить свет на этот пункт, это привести «разъяснения» самого Брауэра, сделанные им (без особой надежды на понимание аудитории) на Международном конгрессе по философии, состоявшемся в Амстердаме в августе 1948 года[5].

«Прежде всего мы должны уяснить все фазы сознания, совершающего переход от своих глубин к внешнему миру, в котором мы сотрудничаем и ищем взаимопонимания. Данное мое выступление вовсе не рассчитано на непременное наличие такого взаимопонимания, и, в некотором смысле, его можно рассматривать как монолог...