Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Сознание в своем глубинном убежище, как можно думать, медленно и пассивно совершает колебания между состояниями покоя и чувствования. По-видимому. лишь в состоянии чувствования становится возможным первый акт упомянутого перехода. Этим актом является движение времени. С помощью движения времени имеющееся в данный момент чувствование переходит в чувствование в другой момент, так что сознание сохраняет первое как имевшееся в прошлом; более того, благодаря различению настоящего и прошедшего, сознание отходит от них обоих, выходит из пассивного состояния, и так возникает мышление.

В форме мышления сознание выступает как субъект, переживающий чувствование в настоящем — так же как и прошедшее чувствование — в качестве объекта. А путем повторения этого процесса удвоения объект может быть расширен до всего множественного и пестрого мира чувствований.

...Математика возникает в тот момент, когда субъект лишает это порождаемое движением времени удвоение всех качеств и когда остающаяся пустая форма общего субстрата всякого удвоения подвергается, в качестве глубинней математической интуиции, неограниченному раскрытию, порождая новые математические сущности в форме предопределенных или более или менее свободно формирующихся бесконечных последовательностей полученных прежде математических сущностей, и в форме математических видов, то есть свойств, которые мы предполагали присущими прежде полученным математическим сущностям и удовлетворяющим тому условию, что если они присущи определенной математической сущности, то они присущи и всем другим одинаковым с ней сущностям».

Обратим внимание на три важных вывода, следующих из аутентичного изложения платформы интуиционистской математики, которое мы только что привели. Во-первых, интуиция, о которой все время идет речь у Брауэра и его последователей, является интуицией разума, и ничего общего не имеет с мистической интуицией чувства, которая фигурирует у философов типа Ф.В. Шеллинга, К. Ясперса, Ж.П. Сартра и т. д.; математический интуиционизм есть нечто не похожее на философский интуитивизм. Он более родствен рационалистическому «интуиционизму» Декарта, выраженному, скажем, в следующих словах последнего:

«Под интуицией я разумею не веру в шаткое свидетельство чувств и не обманчивое суждение беспорядочного воображения, но понятие ясного и внимательного ума, настолько простое и отчетливое, что оно не оставляет никакого сомнения в том, что мы мыслим»[6]. Во-вторых, из слов Брауэра можно определенно заключить, что «глубинная интуиция» разума, порождающая математику, одинакова у всех людей; поэтому математика в этом смысле объективна, не произвольна. В-третьих, интуиция разума не зависит от языка; языковые средства нужны лишь для того, чтобы (не адекватно) сообщать результаты деятельности интуиции другим людям.

Анализируя эти установки Брауэра, нетрудно обнаружить их несоответствие с известными науке фактами. Данные современной психологии все увереннее говорят о том, что осознанного результата мыслительного акта не существует вне языка или, во всяком случае, вне какой-то знаковой системы. Принятие же одинаковости изначальной интуиции разума у всех людей очень напоминает утверждение Канта о неизбежности восприятия мира людьми через априорную категорию времени — утверждение, расходящееся с результатами психологических исследований поведения детей, в частности, исследования Ж. Пиаже и его школы[7].

Отечественное конструктивное направление, продолжающее критическую линию интуиционизма в отношении классической математики, отвергает философскую концепцию Брауэра. На место «интуиции» конструктивисты выдвигают понятие умственного построения, проясняемое с помощью понятия алгоритма (см. гл. 7). При этом, как указывает создатель отечественной школы конструктивной математики А. А. Марков, «умственные построения, такие, например, как построения все больших и больших натуральных чисел, обычно являются слепками с построений материальных, осуществляемых в окружающей нас действительности»[8].

Перейдем, однако, к чисто математическому аспекту брауэровской платформы. Ядром здесь является установка на конструктивность[9] и отрицание универсальности закона исключенного третьего — два положения, которые в интуиционистском истолковании являются родственными. Пример поможет понять сущность дела.

Возьмем теорему Больцано — Вейерштрасса о наличии у ограниченной числовой последовательности точки сгущения. Под точкой сгущения последовательности понимается точка числовой оси, к которой как угодно близко подходят точки, представляющие числа данной последовательности. Скажем, для последовательности 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...точкой сгущения является нулевая точка, так как какое бы сколь угодно малое положительное число е мы ни взяли, для него обязательно отыщется член нашей последовательности, отличающийся по своей абсолютной величине от нуля меньше, чем на е.