Жемчужина Эйлера

Если посмотреть на математику должным образом, то окажется, что она обладает не только истиной, но и высшей красотой — красотой холодной и суровой, подобной красоте скульптуры, не обращенной ни к какой стороне нашей слабой натуры, лишенной украшений живописи или музыки, и тем не менее утонченно чистой и способной к строгому совершенству, свойственному лишь величайшим произведениям искусства.

— Бертран Рассел, «Изучение математики»

²¹⁴

В XX веке топология стала одним из столпов математики, заняв место рядом с алгеброй и анализом. Многие математики, не считающие себя топологами, используют топологию в повседневной работе. Это неизбежно. Сегодня аспиранты математических специальностей первого года обучения обязаны пройти годичный курс топологии.

Один из способов измерить важность области науки — посмотреть, какие награды вручаются за достижения в этой области. Нобелевских премий по математике не существует, но есть эквивалент — филдсовская премия. Филдсовскую премию вручают раз в четыре года, начиная с 1936 года (за исключением Второй мировой войны). На каждой церемонии медали вручаются не более чем четырем математикам не старше сорока лет, внесшим выдающийся вклад в математику. Из сорока восьми лауреатов примерно треть была отмечена за работы по топологии, а еще большее число — за вклад в смежные области.

В связи с одной конкретной топологической проблемой было вручено целых три филдсовских премии. Это одна из самых знаменитых нерешенных задач XX века — настолько важная и трудная, что математику, решившему ее, обещана награда 1 миллион долларов. Называется эта проблема гипотезой Пуанкаре.

Теорема классификации поверхностей — одна из самых элегантных теорем во всей математике. Она утверждает, что любая поверхность однозначно определяется ориентируемостью, эйлеровой характеристикой и числом компонент края. Понятно, что было бы хорошо иметь подобную теорему для многообразий любой размерности, но это чрезвычайно сложная задача. Ясно, что если такая классификация и существует, то приведенного выше перечня недостаточно, поскольку характеристика Эйлера-Пуанкаре любого замкнутого многообразия нечетной размерности рана нулю (см. главу 23).

Пуанкаре мечтал о классификации многомерных многообразий, но даже в трехмерном случае эта задача не поддалась его усилиям. Гипотеза Пуанкаре стала только первым шагом в процессе этой классификации.

Простейшим замкнутым n-мерным многообразием является n-мерная сфера Sⁿ. Пуанкаре искал простой критерий, который позволил бы узнать, гомеоморфно ли данное n-мерное многообразие в сфере Sⁿ. В 1900 г. он думал, что нашел такой критерий. Он доказал²¹⁵, что любое n-мерное многообразие, гомологичное Sⁿ, должно быть гомеоморфно Sⁿ. Гомология n-мерной сферы особенно проста. Ее числа Бетти равны 1 для размерностей 0 и n, 0 для всех остальных размерностей, и зацепления нет.

Через четыре года он понял, что доказательство содержало ошибку²¹⁶. И не только нашел собственную ошибку, но и обнаружил замечательный контпример к своему же утверждению. Он построил патологическое 3-мерное многообразие, имеющее такую же гомологию, как S³, но не гомеоформное S³. Для этого он склеил противоположные грани сплошного додекаэдра, повернув каждую на 36° по часовой стрелке.

Интересное и неожиданное свойство додекаэдрического пространства Пункаре состоит в том, что хотя его первое число Бетти равно 0, оно не является односвязным. То есть любой цикл гомологичен нулю, но существуют циклы, которые нельзя стянуть в точку. На рис. 23.3 мы видели пример нетривиального гомологичного нулю цикла на двойном торе, но в додекаэдрическом пространстве всякий цикл, который нельзя стянуть в точку, гомологичен нулю.

Из этого экзотического примера Пуанкаре сделал вывод, что одной гомологии недостаточно, чтобы охарактеризовать не только Sⁿ, но даже S³. Поэтому он отложил в сторону вопрос в n-мерном случае и сосредоточился на 3-мерных многообразиях. Он подозревал, что если все циклы на 3-мерном многообразии топологически тривиальны, то многообразие должно быть геомеоморфно S³. Это и стало содержанием знаменитой ныне гипотезы Пуанкаре²¹⁷.

Гипотеза Пуанкаре

Любое односвязное замкнутое трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере.

На самом деле в статье Пуанкаре это утверждение выдвигалось не в виде гипотезы, а в виде вопроса. Он не сформулировал своего мнения о том, каким будет ответ. Доказательство этой теоремы, конечно, несопоставимо с классификацией всех трехмерных многообразий, но стало бы важным первым шагом.