Жемчужина Эйлера

Так же как эйлерова характеристика является топологическим инвариантом поверхностей, так и характеристика Эйлера-Пуанкаре является инвариантом n-мерных многообразий. Чтобы доказать этот факт, Пуанкаре установил нечто гораздо более интересное. Он доказал, что если k-е число Бетти равно b_k, то

χ(M)) = b₀ — bi₁ + b₂ —… ± b_n.

То есть, чтобы вычислить характеристику Эйлера-Пуанкаре, мы игнорируем коэффициенты зацепления и берем знакопеременную сумму чисел Бетти! В табл. 23.1 показано, что это равенство имеет место для чисел Бетти поверхностей. Поскольку каждое число b_k является топологическим инвариантом, таковым же является и их знакопеременная сумма. Стало быть, характеристика Эйлера-Пуанкаре — топологический инвариант.

В 1895 году Пуанкаре открыл изумительно симметричное соотношение между числами Бетти²¹⁰. Последовательность чисел Бетти для нескольких многообразий показана в табл. 23.2. Пуанкаре заметил, что числа Бетти встречаются парами, причем первые такие же, как последние: b₀ = b_n, b₁ = b_n-1 и т. д. Это и стало утверждением знаменитой теоремы двойственности Пуанкаре.

Теорема двойственности Пуанкаре

Если b₀, b₁…, b_n — числа Бетти замкнутого ориентируемого n-мерного многообразия, то b_i = b_n-i для всех i.

Таблица 23.2. Симметрия чисел Бетти

Мы уже встречались с двойственностью, когда обсуждали подмеченное Кеплером объединение платоновых тел в пары (глава 6). В обоих случаях термин «двойственность» выбран не случайно; наблюдение Кеплера — это замаскированная двойственность Пуанкаре. Теорема двойственности Пуанкаре утверждает, что при вычислении чисел Бетти многообразия мы вправе менять местами роли i-мерных и (n — i) — мерных симплексов. Двойственность платоновых тел иллюстрирует это поведение. Например, икосаэдр дает пример разбиения сферы на вершины, ребра и грани. Если воспользоваться двойственностью Кеплера и преобразовать каждую вершину икосаэдра в грань, а каждую грань — в вершину, то получится додекаэдр — еще одно разбиение сферы.

В «Analysis Situs» Пуанкаре писал: «Я полагаю, что эту теорему никто не формулировал, однако она известна многим, и некоторые даже находили ей применения»²¹¹. Мы не знаем, ни кто были эти «многие», ни как они использовали это соотношение, но главной целью Пуанкаре было доказать тот удивительный факт, что характеристика Эйлера-Пункаре любого замкнутого ориентируемого многообразия нечетной размерности равна нулю!

Действительно, рассмотрим 3-мерный тор — 3-мерное многообразие, полученное склеиванием сторон куба, как в левой части на рис. 23.7. его числа Бетти равны b₀ = 1, b₁ = 3, b₂ = 3 и b₃ = 1 (мы не станем это доказывать), поэтому характеристика Эйлера-Пуанкаре равна

χ(3-мерный тор) = 1–3 + 3–1 = 0.

Вообще, пусть M — произвольное замкнутое ориентируемое многообразие нечетной размерности n. В силу теоремы двойственности Пуанкаре числа Бетти встречаются парами с противоположным знаком, поэтому в выражении характеристики Эйлера-Пуанкаре в виде знакопеременной суммы они взаимно уничтожаются:

Оказывается, что характеристика Эйлера-Пуанкаре любого замкнутого неориентируемого многообразия также равна нулю. Мы опускаем сложное доказательство этого факта, но проиллюстрируем его на примере. 3-мерное многообразие, полученное попарным склеиванием сторон куба, как показано в правой части на рис. 23.7, неориентируемое. Его числа Бетти равны b₀ = 1, b₁ = 2, b₂ = 1 и b₃ = 0 (у него также имеются коэффициенты зацепления в размерностях 1 и 2). Мы видим, что двойственность Пуанкаре не имеет места, но характеристика Эйлера-Пуанкаре по-прежнему равна нулю:

χ(M) = 1–2 + 1–0 = 0.

Рис. 23.7. Трехмерный тор и неориентируемое трехмерное многообразие

Следует отметить, что многообразия с краем нечетной размерности необязательно имеют нулевую характеристику Эйлера-Пуанкаре. Например, для n-мерного шара Bⁿ характеристика Эйлера-Пуанкаре равна 1 для всех n.

Превращение топологии из дисциплины, построенной на интуитивных аргументах, в раздел математики со строгими доказательствами произошло на протяжении первых трех десятилетий XX века. Это было время, когда топологи избавились от пробелов, прорех, нежелательных допущений и ошибок блестящей работы Пуанкаре.

Например, рассмотрим следующие два предположения, сделанных Пуанкаре. Во-первых, он утверждал, что любое многообразие можно представить в виде симплициального комплекса или, точнее, что всякое многообразие можно триангулировать. Во-вторых, он предполагал, что Hauptvermutung (основная гипотеза комбинаторной топологии) верна для любого многообразия (напомним, что эта гипотеза утверждает, что любые два разбиения многообразия можно измельчить, добавив симплексы, так что они станут топологически эквивалентными). Как выясняется, в общем случае оба этих предположения неверны. И тем не менее математики показали, что выводы Пуанкаре справедливы.