Жемчужина Эйлера

Идея обобщения заключается в том, чтобы по аналогии с тем, как Риман подсчитывал 1-мерные разрезы поверхности, подсчитать для n-мерного многообразия максимальное число m-мерных многообразий (подчиняющихся некоторым сложным условиям) для каждого m ≤ n. Это даст числа связности b_m для всех m от 0 до n. В этих обозначениях b₁ является римановым числом связности.

Рис. 22.9. Энрико Бетти

Бетти доказал, что b_m — топологические инварианты многообразия. Однако работать с n-мерными многообразиями трудно, и позже выяснилось, что в определениях и рассуждениях Бетти имелись тонкие ошибки. Тем не менее работа Бетти стала исключительно важным шагом на пути к пониманию топологии n-мерных многообразий.

Исправить ошибки Бетти вознамерился Анри Пуанкаре. Он сделал это — и гораздо больше.

Приложения к главе

196. Scholz (1999).

197. Brouwer (1911).

198. Cauchy (1813a).

199. Schlafli (1901).

200. Breitenberger (1999).

201. Listing (1847), Listing (1861–1862).

202. Tait (1884).

203. Riemann (1851).

Глава 23 Анри Пуанкаре и взлет топологии

Создаваемые математиком образы, подобно образам художника или поэта, должны обладать красотой; подобно краскам или словам, идеи должны сочетаться гармонически. Красота служит первым критерием: в мире нет места безобразной математике.

— Г. Х. Харди

²⁰⁴

Если формулы Эйлера, касающиеся кёнигсбергских мостов и многогранников, знаменуют рождение топологии, а работы Листинга, Мёбиуса, Римана, Клейна и других математиков XIX века — годы ее юности, то признаком наступления зрелого возраста стали труды Анри Пуанкаре. И до него существовали теоремы, которые сегодня мы относим к топологическим, но лишь в самом конце XIX века Пуанкаре систематизировал эту область.

Изучая полное собрание его трудов, мы замечаем общую тему: топологический взгляд на математику. Быть может, этот качественный подход к предмету объясняется его нелюбовью (или, как он сам говорил, затруднениями) к математическим вычислениям. А быть может, это реакция на печально известное отсутствие художественных способностей (вспомните, он называл геометрию «искусством рассуждений о плохо нарисованных фигурах»). Как бы то ни было, Пуанкаре в конце концов сам увидел эту общую черту и написал: «К какой бы задаче я ни приступал, она приводила меня к Analysis Situs»²⁰⁵.

Пуанкаре имел в виду первопроходческую 123-страничную статью Analysis Situs²⁰⁶, написанную в 1895 году. За последующие десять лет он написал ее продолжение в пяти основополагающих частях, которые сам называл дополнениями²⁰⁷. Об этих шести статьях Жан Дьедонне писал:

Как и во многих своих статьях, он дал волю своему воображению и необычайно развитой «интуиции», которая очень редко уводила его не в ту сторону; почти каждый раздел содержит оригинальную идею. Но не следует нам искать точных определений, и зачастую приходится из контекста догадываться, что он имел в виду. Многие результаты он вообще оставил без доказательства, а если и давал себе труд привести доказательство, то чуть ли не каждый аргумент вызывает сомнения. Эта статья на самом деле является чертежом для будущих разработок совершенно новых идей, и чтобы под каждую из них подвести твердые основания, потребовалось создать новые методы²⁰⁸.

Представьте себе Джонни-яблочное семечко[17], который бродил по пустошам и разбрасывал семена, из которых впоследствии выросли плодоносящие сады. Вряд ли будет преувеличением сказать, что почти все исследования по топологии до начала 1930-х годов выросли из этой работы Пуанкаре.