Жемчужина Эйлера

Рассмотрим результаты Коши и Шлефли с точки зрения современной топологии. Прежде всего оба ограничивались только выпуклыми многогранниками, не имеющими ни дыр, ни туннелей. Топологически полый п-мерный многогранник Шлефли гомеоморфен (n — 1) — мерной единичной сфере, S^n-1. Таким образом, теорема Шлефли показывает, что χ(Sⁿ) = 0 при нечетном n и χ(Sⁿ) = 2 при четном n. С другой стороны, Коши предполагал, что выпуклый многогранник сплошной, т. е. топологически эквивалентный трехмерному шару B³. Коши доказал, что χ(B³) = 1, а мы теперь знаем, что χ(Bⁿ) = 1 для всех n. Чтобы убедиться в этом, создадим Вⁿ, «заполнив» многогранник Шлефли одной n-мерной гранью. Тогда χ(Bⁿ) = χ(S^n-1) + (–1)ⁿ. Для четных n χ(Bⁿ) = 0 + 1 = 1, а для нечетных n χ(Bⁿ) = 2–1 = 1.

Следующее обобщение на многомерный случай было предложено Листингом. Мы уже несколько раз с ним встречались. Он внес вклад в теорию графов (глава 11), первым из математиков стал изучать узлы (глава 18), открыл ленту Мёбиуса раньше самого Мёбиуса и даже придумал термин «топология» (глава 16). Фактически он первым подошел к формуле Эйлера с чисто топологической точки зрения и стал первым математиком, думавшим как тополог. Можно было бы назвать его одним из гигантов топологии. Но в действительности его мало кто знал во время жизни, да и после смерти он долго оставался незаметной фигурой. Даже теперь в «Словаре научных биографий», восемнадцатитомном собрании кратких биографий наиболее значительных ученых и математиков за всю историю человечества, нет статьи о Листинге.

Рис. 22.6. Иоганн Листинг

Не понятно, почему он так и не занял достойного места в истории. У него прекрасный академический послужной список. Он защитил докторскую диссертацию под руководством Гаусса и оставался в ближнем кругу своего учителя до самой его смерти (Листинг присутствовал на похоронах). В течение восьми лет он жил по соседству с Риманом. (Удивительно, что нет никаких свидетельств совместной работы или даже значимых бесед между ними, хотя у них так много общего. Высказывалось предположение, что Листинг, возможно, опасался заразиться туберкулезом, терзавшим семью Римана²⁰⁰.) Листинг внес важный вклад и в другие области науки, например оптику глаза. Помимо топологии, он ввел в оборот еще несколько терминов, сохранившихся до наших дней, например «микрон» — миллионная доля метра.

Быть может, неизвестностью он обязан личным качествам. Будучи общительным и добрым человеком, он страдал маниакально-депрессивным психозом, постоянно испытывал финансовые затруднения из-за больших долгов, а его жена часто вступала в конфликт с законом. Быть может, из-за своего беспокойного духа он на несколько лет отдалялся от математики и принимал неудачные карьерные решения, а быть может, все объясняется отказом играть в политические игры в академии. Возможно, проблема — в его способе изложение математики. В его работах всегда очень много внимания уделяется деталям, за которыми трудно разглядеть важные и глубокие открытия.

Он написал две монографии по топологии, одну в 1847, другую в 1861 году²⁰¹. Первая, уже упоминавшаяся «Топология», состояла в основном из его размышлений на топологические темы. Вторая, с длинным названием «Der Census räumllcher Complexe oder Verallgemelnerung des Euler'-schen Satzes von den Polyedern» («Исследование пространственных комплексов, или Обобщение теоремы Эйлера на многогранники»), содержала его обобщения формулы Эйлера на невыпуклые трехмерные тела. В 1884 году П. Г. Тэйт сетовал, что труды Листинга по топологии не были извлечены из незаслуженной безвестности и не опубликованы на английском, особенно когда так много работ, по сравнению с ними никчемных или, по крайней мере, не столь полезных, удостоилось этой чести²⁰².

В «Исследовании» Листинг отказался от взгляда на многогранники как на жесткие фигуры, а подверг проблему топологическому рассмотрению. Листинг подсчитывал количество вершин, ребер, граней и (трехмерных) пространственных граней, но допускал, что эти характеристики могут иметь нетривиальную топологию, или (в его терминологии) циклозис. Например, он считал окружность ребром, а сферу гранью, но при подсчете модифицировал итог, принимая во внимание их топологию. цилиндр он считал гранью, но, поскольку тот содержит нетривиальную петлю, вычитал единицу. Таким образом, если A, B, C, D — соответственно число вершин, ребер, граней и пространственных граней, очищенных от циклозиса, то A — B + C — D = 0.