Жемчужина Эйлера

Лиза: Где мой папа?

Профессор Фринк: Даже самому недалекому человеку, имеющему научную степень по гиперболической топологии, должно быть очевидно, что Гомер Симпсон забрел в третье измерение… [рисует на доске]. Вот обыкновенный квадрат —

Шериф Виггам: Эй, притормози, яйцеголовый!

Профессор Фринк: — но допустим, что мы продолжили квадрат за пределы двух измерений нашей Вселенной вдоль гипотетической оси z [все затаили дыхание]. Тогда получится трехмерный объект, именуемый «кубом», или «фринкаэдром» в честь его первооткрывателя.

— Симпсоны, «Хэллоуинские эпизоды, VI»

До сих пор все наши топологические объекты были кривыми или поверхностями — локально одномерными или двумерными объектами, расположенными в 2-, 3- или 4-мерном пространстве. Поверхности опологическим обобщением многогранника, а формула Эйлера для многогранников была элегантно обобщена на эйлерову характеристику поверхностей. Теперь естественно спросить, что можно сказать о многомерных топологических фигурах. Что это такое и существует ли для них понятие эйлеровой характеристики?

В главе 23 мы увидим, что Пуанкаре определил эйлерову характеристику в многомерных топологических пространствах и доказал, что это топологический инвариант. Но прежде чем обсуждать результаты Пуанкаре, следует поговорить о понятии размерности и некоторых ранних попытках обобщить эйлерову характеристику.

Все мы знакомы с 0-, 1-, 2- и 3-мерным пространством. В трехмерном пространстве мы живем. Деревья, дома, люди, собаки — все это трехмерные объекты. В трехмерном пространстве встречаются двумерные объекты, например классная доска, лист бумаги или телеэкран. Струна, гимнастическое бревно, телефонный шнур — одномерные объекты. Точка в конце предложения нульмерна.

Принято ассоциировать размерность с геометрическими фигурами: точками, прямыми и плоскостями. Но, как мы видели в предыдущих главах, нам необходимо определение размерности, не столь жесткое, как в геометрии. Перспективнее говорить о размерности в терминах степеней свободы: размерность — это число независимых направлений, в которых может перемещаться объект.

Рассмотрим стаю птиц на рис. 22.1. У каждой птицы имеются ограничения на перемещение — у них разное число степеней свободы. Птица, сидящая на телеграфном столбе, вообще никуда не может лететь. Она находится в нульмерном пространстве. Птица на проводе может двигаться вбок. У нее одна степень свободы, т. е. она обитает в 1-мерном пространстве. Птица, находящаяся на земле, живет в 2-мерном пространстве, а летящая птица — в 3-мерном. Заметим, что ни слова не было сказано о прямых и плоскостях, только о степенях свободы. Провисший провод, безусловно, не является прямой линией, а на земле есть ухабы и колдобины.

Рис. 22.1. Птицы в 0-, 1-, 2- и 3-мерном пространстве

Поскольку мы живем в 3-мерном мире, нам легко воспринять идею размерности 0, 1, 2 и 3. Четыре и более измерений выходят за пределы нашего чувственного опыта. Изучая скрещенные колпаки, бутылку Клейна и проективную плоскость, мы осознали необходимость четвертого измерения. И хотя вообразить переход в четвертое измерение нелегко, представить сами эти 4-мерные поверхности не составляет особого труда, ведь они по большей части трехмерные. Топологические объекты, которые требуют большего, чем короткий «объезд» через четвертое измерение, — совсем другая история.

Часто доводится слышать, что четвертое измерение — это время. Такая точка зрения была введена в обиход Жозефом-Луи Лагранжем примерно в 1788 году¹⁹⁶. Время — величина, с которой мы все знакомы, и она могла бы помочь воспринять 4-мерное пространство. Но тут есть один подвох. Нельзя игнорировать «стрелу времени». У трех знакомых нам физических измерений нет направления. Частицы могут двигаться взад-вперед по прямой, не нарушая законов физики. Однако та же самая частица не может двигаться назад во времени. По сравнению с тремя другими измерениями у времени определенно есть принципиальное отличие. В общем случае мы не хотим, чтобы наше четвертое измерение обладало таким ограничительным свойством.