Жемчужина Эйлера

Приведем еще одну иллюстрацию связи между кривизной и площадью. Возьмем участок поверхности с положительной кривизной, например кусочек луковичной шелухи или капустного листа. Попытавшись ровно разложить его на столе, мы обнаружим, что в середине слишком много материала. К сожалению, внешний край луковичной шелухи порвется, если попытаться ее разгладить. Именно поэтому на обычной (меркаторской) проекции Земли кажется, будто Гренландия размером с континентальную часть США, хотя на самом деле на территории нижних сорока восьми штатов легко уместились бы три таких острова, как Гренландия. Для поверхностей отрицательной кривизны мы сталкиваемся с прямо противоположной проблемой. Если бы мы отрезали кусочек седловидной поверхности, то при попытке расправить его на столе оказалось бы слишком много материала по краям. Внутренняя часть диска пошла бы морщинами.

Изучив связь между кривизной, площадью и угловым избытком, мы сможем получить другое определение гауссовой кривизны. Рассмотрим геодезический треугольник △, содержащий точку x, с внутренними углами a, b, c. Угловой избыток этого треугольника, E(△) = a + b + c — π, является хорошей мерой кривизны в точке x. Проблема в том, что, как мы уже отметили, при уменьшении треугольника величина E(△) стремится к нулю. Поэтому нужно масштабировать угловой избыток на площадь. Вместо того чтобы работать с E(△), мы будем использовать величину E(△)/A(△), где A(△) — площадь треугольника △. Оказывается, что если уменьшать △, устремив его к х, то величина E(△)/A(△) будет стремиться к гауссовой кривизне в точке x.

В такой формулировке гауссову кривизну особенно легко вычислить для поверхностей постоянной кривизны. Поскольку кривизна постоянна, то она равна просто E(△)/A(△), где △ — произвольный геодезический треугольник (необязательно сжимать треугольник в точку). Например, пусть △ — октант сферы радиуса r. В таком треугольнике три прямых угла, поэтому угловой избыток равен E(△) = 3(π/2) — π = π/2, а площадь A(△) = (1/8)4πr² = πr²/2. Следовательно, в каждой точке сферы гауссова кривизна равна (π/2)/(πr²/2) = 1/r², и, значит, при увеличении радиуса сферы ее кривизна уменьшается. Кривизну бильярдного шара увидеть легко, но о кривизне Земли этого не скажешь.

Из такого определения гауссовой кривизны можно сделать еще один вывод. Рассмотрим лист бумаги, лежащий на столе. Очевидно, что его гауссова кривизна равна нулю. Если свернуть его в цилиндр, то геометрия изменится, но гауссова кривизна по-прежнему будет равна нулю. Как ни старайся, превратить лист бумаги в сферу положительной кривизны или седло отрицательной кривизны не получится. При любой деформации листа бумаги его кривизна останется нулевой. На техническом жаргоне эту мысль можно выразить, сказав, что мы можем изменять внешнюю кривизну листа, но никогда не сумеем изменить его внутреннюю кривизну.

Две главные кривизны k₁ и k₂ измеряют внешнюю кривизну поверхности — они зависят от того, как поверхность располагается в трехмерном пространстве. Для плоского листа бумаги k₁ = k₂ = 0, но для цилиндра одна из этих величин ненулевая. Главные кривизны являются внешними, потому что обитатели поверхности никогда не смогли бы вычислить их, производя вычисления только на поверхности. Они должны выйти за пределы поверхности и посмотреть, как она расположена в окружающем пространстве. Поскольку гауссова кривизна является произведением главных кривизн, k = k₁k₂, она также служит мерой внешней кривизны.

Однако величины площадей и углов — внутренние свойства поверхности, поскольку могут быть измерены живущими на ней существами. Для вычисления этих величин не нужно фиксировать положение поверхности в пространстве. Площадь и углы треугольника, нарисованного на листе бумаги, не изменятся, когда мы свернем его в цилиндр. Следовательно, поскольку гауссову кривизну можно определить в терминах этих величин, она фактически является мерой внутренней кривизны поверхности!

Именно Гаусс первым открыл, что произведение двух внешних главных кривизн дает меру внутренней кривизны поверхности. Он оценил красоту своего открытия, поэтому назвал его theorema egregium, или «замечательная теорема».

Поскольку гауссова кривизна — внутреннее свойство поверхности, для ее измерения не требуется, чтобы объект был жестко закреплен в пространстве. Однако это и не топологическая мера. Если бы лист бумаги был топологической поверхностью (сделанной из резины), то можно было бы как угодно изменить его кривизну и сильно исказить нарисованный на нем треугольник.