Жемчужина Эйлера

На практике многомерные пространства возникают естественно. Для расчета движения космического челнока нужно шесть измерений — три для определения положения в пространстве и три для скорости. Чтобы задать положения и скорости Солнца, Земли и Луны, нужно восемнадцать измерений. Экономисты при построении финансовой модели, экологи при изучении популяций и физики в квантовой теории оперируют очень большим количеством переменных (каждая из которых является измерением). С математической точки зрения, измерений может быть сколько угодно.

Каким бы ни был источник многомерного пространства, в нашем обсуждении предполагается, что все измерения физические, не отличающиеся от привычных трех измерений. Мы не утверждаем, что существует больше трех физических измерений. Может, да, а может, и нет (физики, занимающиеся теорией струн, считают, что измерений по меньшей мере десять). С точки зрения математики, это несущественно.

n-мерное евклидово пространство обозначается ℝⁿ. ℝ¹ — множество вещественных чисел — та самая числовая прямая, которую мы изучали в школе. Каждую точку на прямой можно представить одним значением x. ℝ² — бесконечная плоскость. На ней определены координатные оси x и y, с помощью которых можно представить любую точку упорядоченной парой (x, y). Трехмерное евклидово пространство обозначается ℝ³, каждая точка в нем представляется упорядоченной тройкой (x, y, z). Чисто математически обобщить эти понятия на n-мерное евклидово пространство тривиально. Каждую точку в ℝⁿ можно единственным способом описать упорядоченным кортежем длины n — (x₁, x₂…, x_n). Мы можем работать с такими многомерными пространствами вне зависимости от того, существуют они физически или нет.

Мы много времени посвятили изучению поверхностей. При описании поверхностей мы считали, что они локально двумерные. Муравей, обитающий на поверхности, имеет две степени свободы. Ту же идею можно обобщить на многомерные пространства. n-мерным многообразием называется топологический объект, который локально выглядит как n-мерное евклидово пространство. У обитателей такого многообразия имеется n степеней свободы. Как и поверхности, многообразия характеризуются локальной простотой и глобальной сложностью. Они могут иметь дырки и другие нетривиальные топологические особенности. Но вне зависимости от глобальных характеристик вблизи все n-мерные многообразия похожи на ℝⁿ.

Подобно поверхностям, n-мерные многообразия могут быть ориентируемыми и неориентируемыми. Самый простой способ проверки на ориентируемость дает критерий Дика (глава 16). Пусть имеется два одинаковых набора осей координат на неориентируемом n-мерном многообразии. Тогда можно переместить один набор осей вдоль многообразия таким образом, что когда он вернется в исходную точку, все оси не удастся совместить. Например, в случае 3-мерного многообразия, если совместить оси x и y, оси z будут направлены в разные стороны (см. рис. 22.2).

Рис. 22.2. Оси координат на неориентируемом 3-мерном многообразии

Многообразия любой размерности могут иметь края, и край n-мерного многообразия является многообразием на единицу меньшей размерности. Край 1-мерного многообразия — 0-мерное многообразие (две точки), край 2-мерного многообразия (поверхности) — 1-мерное многообразие (одна или несколько окружностей), а край 3-мерного многообразия (тела) — поверхность. Например, краем сплошного тора является обычный (полый) тор. Краем сплошного шара является сфера, и вообще n-мерный шар Вⁿявляется n-мерным многообразием, а его краем — (n — 1) — мерная сфера S^n-1 (определения Sⁿ и Вⁿ см. в главе 19.)

История многообразий восходит к Риману и его изучению многозначных комплексных функций и ассоциированных с ними римановых поверхностей. Но только на рубеже XX столетия Пуанкаре показал, что многообразие — важный объект исследования и предложил несколько способов его описания. Пожалуй, простейший из них — выразить многообразие в виде подмножества ℝⁿ с помощью одного или нескольких уравнений. Например, уравнение х² + у² +z² = 1 определяет сферу, а (3- √ X² + у²)² + z² = 1 — тор. Оба многообразия находятся в R³.

Иногда Пуанкаре представлял многообразие n-мерным многогранником, который называл симплициальным комплексом. В симплициальном комплексе обобщением вершины, ребра и грани является симплекс. Можно предполагать, что все симплексы — это треугольники или многомерные аналоги треугольников. На рис. 22.3 показано, что k-симплекс — это k-мерная фигура, определяемая k + 1 точками. 0-симплекс — это точка, 1-симплекс — отрезок прямой, 2-симплекс — треугольник, 3-симплекс — треугольная пирамида и т. д. Предполагается, что два соседних симплициальных комплекса граничат по симплексу меньшей размерности. (Заметим, что как многогранники Гесселя [глава 15] не были поверхностями, так не каждый симплициальный комплекс является многообразием.)

Рис. 22.3. 0-, 1-, 2- и 3-симплексы