Жемчужина Эйлера

Чтобы дать представление о том, как устроено разбиение Листинга, применим его к сплошному тору — это разбиение показано на рис. 22.7. В нем нет вершин, одно круговое ребро, две грани (в форме цилиндра и в форме диска) и две пространственные грани (внутренность цилиндра и окружающее пространство, которое он тоже учитывал в подсчете). Поскольку в этом разбиении нет вершин, A = 0. Ребро одно, но оно содержит замкнутую петлю, так что B = 1–1 = 0. Грани две, но поскольку цилиндрическая грань содержит замкнутую петлю вдоль окружности, то C уменьшается на единицу. Таким образом, C = 2–1 = 1. Наконец, пространственных грани две, но поскольку внешнее пространство содержит нетривиальную петлю, имеем D = 2–1 = 1. В полном согласии с формулой Листинга: A — B + C — D = 0–0 + 1–1 = 0.

Рис. 22.7. Разбиение сплошного тора

Подход Листинга к задаче был удивительно остроумным и проницательным. Это была первая попытка рассмотреть трехмерную формулу Эйлера с чисто топологической точки зрения. Однако она была далека от совершенства. Уж как минимум способ вычисления A, B, C и D был путаным. Листинг отказался от изящной простоты вершин, ребер и граней Эйлера. Вместо этого мы должны понимать топологию каждого элемента разбиения Листинга.

Следующий крупный вклад в теорию n-мерной топологии был сделан Риманом и итальянским математиком Энрико Бетти (1823–1892). Чтобы понять, в чем он состоял, нам придется вернуться к изучению поверхностей, предпринятому Риманом.

В своей докторской диссертации 1851 года Риман представил топологический инвариант — число дырок в ориентируемой поверхности. Он назвал его числом связности поверхности²⁰³. Поверхность (с краем или без края) имеет число связности n, или является n-связной[15], если n — наибольшее число разрезов, при котором поверхность еще не распадается на части[16]. Если поверхность имеет край, то разрезы должны начинаться и заканчиваться на крае. Если же у поверхности нет края, то первый разрез должен начинаться и заканчиваться в одной и той же точке (после чего у поверхности появится край).

На рис. 22.8 показано три поверхности с краем: цилиндр, диск с тремя дырками и лента Мёбиуса. Пунктирными линиями представлены разрезы. Для цилиндра и диска с дырками число связности равно 1 и 3 соответственно. Работа Римана по числам связности предшествует открытию неориентируемых поверхностей Мёбиусом, но числа связности для неориентируемых поверхностей вычисляются точно таким же образом. В частности, лента Мёбиуса 1-связная.

Рис. 22.8. Разрезы для определения чисел связности различных поверхностей

Простейшей замкнутой поверхностью является сфера. Любой разрез вдоль замкнутой кривой разбивает сферу на две части. Поэтому сфера 0-связная. Если разрезать тор вдоль трубки, то получится цилиндр. После второго разреза параллельно оси цилиндра получится прямоугольник. Следовательно, число связности тора равно 2. Аналогично можно вычислить числа связности других поверхностей. Двойной тор 4-связен, проективная плоскость 1-связна, а бутылка Клейна 2-связна.

Может показаться, что число связности — новый важный топологический инвариант, но на самом деле это замаскированная эйлерова характеристика. Проницательный читатель, наверное, уже подметил связь между числом связности и родом ориентируемой замкнутой поверхности. И Риман тоже обратил на это внимание — число связности в два раза больше рода. Если известна одна из трех величин — род, эйлерова характеристика или число связности, — то можно вычислить и остальные две.

Давайте уточним связь между числом связности и эйлеровой характеристикой. Представим себе, что до фактического разрезания мы нарисовали линии разрезов на n-связной поверхности S. Это дает очень простое разбиение поверхности. Для простоты предположим, что все разрезы начинаются и заканчиваются в одной и той же точке, так что V = 1. После разрезания останется одна грань, так что F = 1. Кроме того, каждая линия разреза является ребром, так что E = n. В результате получаем следующее простое соотношение между числом связности и эйлеровой характеристикой:

χ(S) = 1 — n + 1 = 2 — n.

К концу жизни здоровье Римана начало ухудшаться. Между 1862 годом и смертью, последовавшей в 1866 году, он несколько раз ездил в Италию на лечение. В одну из поездок он навестил своего знакомого Бетти, с которым встречался в Гёттингене в 1858 году. Бетти был профессором в Пизанском университете. Он также преподавал в высшей школе, был членом парламента и сенатором. Он был известным математиком и одаренным преподавателем и сыграл важную роль в возрождении математики в Италии после ее объединения.

Будучи в Италии, Риман беседовал с Бетти о том, как обобщить числа связности на многообразия более высокой размерности. Трудно сказать, кто из них какой вклад внес в теорию. В 1871 году именно Бетти опубликовал эти обобщения, но из писем и заметок видно, что Риман многое знал о них еще в 1852 году.