Жемчужина Эйлера

Один из его современников писал: «В области Analysis Situs Пуанкаре недавно принес нам множество новых результатов, но в то же время поднял множество новых вопросов, которые все еще ждут своего разрешения»²⁰⁹. Пробелы и прорехи в рассуждениях Пуанкаре действительно были, и для их устранения понадобилось время. Интуитивный подход к предмету, характерный для Пуанкаре и его предшественников, нужно было подкрепить солидными математическими аргументами. Строгость и единый стандарт доказательств в топологии появились примерно в 1910 году, и еще несколько десятилетий ушло на возведение прочной конструкции по чертежам Пуанкаре.

Один из многих важных вкладов Пуанкаре — изобретение понятия гомологии. Это остроумный способ формализовать изучение римановых чисел связности и их многомерных обобщений Бетти. В наши дни гомология — одно из основных средств анализа многообразий. Пуанкаре ввел это понятие в Analysis Situs и уточнял в каждом дополнении. Потребовалось примерно тридцать лет, чтобы теория гомологий приняла современную форму.

Описание теории гомологий — все равно, в современных терминах или по Пуанкаре — выходит за рамки этой книги. Вместо этого мы ограничимся поверхностным изложением, полагаясь на интуицию. Мы обсудим не n-мерный вариант, а лишь 1-мерную гомологию на поверхностях.

Один из способов интерпретировать 1-мерную гомологию заключается в том, чтобы взглянуть на петли, нарисованные на поверхности. Не будем фиксировать петлю, а позволим ей перемещаться по поверхности. Она может как угодно растягиваться, укорачиваться и извиваться, лишь бы не разрывалась и не покидала поверхность.

Простейшей из возможных является топологически тривиальная петля, которую можно стянуть в точку. Она может произвольно виться по поверхности, но не должна окружать дырки. Например, поскольку в сфере нет дырок, любую петлю, нарисованную на ее поверхности, можно стянуть в точку.

Простейшие поверхности — это те, на которых, как на сфере, любая петля топологически тривиальна. Такая поверхность называется односвязной. Как видно по рис. 23.1, диск и сфера односвязные, а кольцо и тор — нет.

Рис. 23.1. Диск и сфера — односвязные поверхности, а кольцо и тор — нет

Из теоремы классификации поверхностей мы знаем, что сфера — единственная односвязная замкнутая поверхность. На всех прочих имеется бесконечно много нетривиальных петель. Пуанкаре понял, что важно подсчитывать существенные, или независимые нетривиальные, циклы на поверхности. Для ориентируемых поверхностей он назвал эту величину 1-мерным числом Бетти, в честь Бетти. Для его вычисления он определил странную арифметическую операцию на множестве петель, которую мы будем записывать как сложение.

В теории гомологий любая петля имеет ориентацию и называется циклом. Таким образом, циклы a и — a — одна и та же петля, но с противоположными ориентациями. Суммой двух петель a и b называется объединение циклов, поэтому a + b и b + a — одно и то же, что в нашей нотации записывается как a + b = b + a. Иногда желательно представлять себе a + b как самостоятельную петлю. Согласно нашей арифметике, мы можем проследовать по петле a, затем по b, или по петле b, затем по a. Хотя это могут быть разные петли, они представляют один и тот же цикл. Мы допускаем взаимное уничтожение двух циклов противоположной ориентации, т. е. a + (—a) + b = b. Кроме того, если цикл a можно деформировать в цикл b, то a = b.

Чтобы почувствовать, как работает такое сложение, рассмотрим три цикла a, b и c на торе (рис. 23.2). Как видим, можно деформировать цикл c, так что он совпадет с циклом a, за которым следует цикл b. Поэтому c и a + b — один и тот же цикл, или c = a + b.

Рис. 23.2. Цикл c можно деформировать в цикл a + b

Если это действительно операция сложения, то должен быть нулевой цикл. На что он похож? Самый очевидный нулевой цикл — тот, что можно стянуть в точку. На односвязной поверхности любой цикл нулевой. И всё? Верно ли, что единственные нулевые циклы — топологически тривиальные? Оказывается, нет. Цикл w на рис. 23.3 охватывает «талию» двойного тора, и стянуть его в точку невозможно. Однако его можно деформировать, так что он пройдет по циклу u, затем по v, потом по — u и по — v. Следовательно, w = u + v + (—u) + (—v) 0.

Рис. 23.3. Нулевой цикл на двойном торе, который невозможно стянуть в точку

Мы видим, что цикл c на рис. 23.2 можно записать в виде суммы циклов a и b. Оказывается, что любой цикл на торе можно записать в виде суммы a и b. Иными словами, если дан произвольный цикл d на торе, то можно найти такие целые числа m и n, что d = ma + nb. То есть а и b — единственные существенные циклы, поэтому, согласно Пуанкаре, одномерное число Бетти тора равно 2. Аналогично для двойного тора на рис. 23.3 циклы u и v существенны, и есть еще два вокруг другой дырки. Одномерное число Бетти двойного тора равно 4.