Жемчужина Эйлера

Как показывают эти примеры, теория графов имеет интересные применения в развлекательной математике. Однако это также весьма важная часть серьезной математики, имеющая многочисленные практические применения в таких разных областях, как информатика, вычислительные сети, социальные структуры, транспортные системы и моделирование эпидемий. Мы еще встретимся с теорией графов в последующих главах. В частности, мы выведем аналог формулы Эйлера для одного класса графов.

Приложения к главе

84. Thoreau (1894), 419.

85. Quoted in Sachs, Stiebitz, and Wilson (1988).

86. Там же.

87. Quoted in Hopkins andWilson (2004).

88. Euler (1736), английский перевод в Biggs, Lloyd, and Wilson (1986), 3–8.

89. Ball (1892).

90. Hierholzer (1873).

91. Barabasi (2002), 12.

92. Listing (1847).

93. Terquem (1849).

Глава 12 Плоскостные многогранники Коши

Коши — безумец, и с этим ничего не поделаешь, но сейчас он единственный, кто знает, как надо делать математику.

— Нильс Абель

⁹⁴

За сто лет, прошедших с того момента, когда Эйлер доказал формулу для многогранников, появилось много новых доказательств и целый ряд обобщений на экзотические многогранные тела. Первое значительное обобщение сделал Огюстен Луи Коши, который также придумал остроумное новое доказательство.

Рис. 12.1. Огюстен-Луи Коши

Коши родился в Париже в 1789 году. Он был старшим сыном высокопоставленного чиновника. Хотя в эпоху террора семья покинула Париж, отец позаботился о том, чтобы сын получил хорошее образование. В юности он познакомился с математиками Пьером-Симоном Лапласом (1749–1827) и Жозефом-Луи Лагранжем, а также с химиком Клодом Луи Бертолле (1748–1822), так что уже на заре своей жизни общался с авторитетными учеными.

Коши недолго работал военным инженером на строительстве Уркского канала, моста Сен-Клод и Шербургской базы флота. Первые математические сочинения он опубликовал в 1811 году, за два года до возвращения в Париж, где начал строить карьеру в математике. В 1815 году он был принят на работу в Политехническую школу.

Коши был потрясающе плодовитым ученым. По количеству написанных работ он уступает только Эйлеру; собрание его сочинений, включающее по меньшей мере семь книг и восемьсот статей, занимает двадцать семь объемистых томов. Наверное, это байка, но говорят, что Французская академия наук ввела правило, ограничивающее количество публикаций одного автора в год, в ответ на неиссякаемый поток работ, выходивший из-под пера Коши.

Коши внес значительный и глубокий вклад во многие разделы математики, включая комплексный анализ, вещественный анализ, алгебру, дифференциальные уравнения, теорию вероятностей, теорию определителей и математическую физику. Многие фундаментальные идеи анализа, высказанные Ньютоном, Лейбницем, Эйлером и другими, были наконец-то поставлены на твердое теоретическое основание именно Коши. Ему мы должны быть благодарны за современные определения непрерывности, предела, производной и определенного интеграла. Благодаря частым лекциям в Политехнической школе и многочисленным публикациям его голос был постоянно слышен в математическом сообществе в течение всей первой половины XIX века.

Непреложным свидетельством влиятельности Коши является количество названных в его честь теорем, свойств и понятий — быть может, больше, чем в честь любого другого математика, включая Эйлера. И тем не менее создается впечатление, что Коши стал одним из величайших математиков вопреки самому себе. Зачастую он публиковал работы, казалось, не осознавая их глубины и важности. Математик Ганс Фройденталь (1905–1990) писал: «Почти во всех случаях он оставлял окончательную форму своих открытий следующему поколению. Всем достижениям Коши недостает глубины, что необычно… Он был самым поверхностным из великих математиков, он обладал несомненным чутьем на простое и фундаментальное, сам того не осознавая»⁹⁵.

Хотя Коши вызывает огромное восхищение как математик, о его личности этого не скажешь. Он был известен своим упрямством и склонностью к мелодраматичности. Типичным примером является его добровольная ссылка из Франции в Турин и Прагу, затянувшаяся почти на десять лет. По политическим убеждениям он был консерватором, последовавшим в изгнание за низложенным королем Карлом X после июльской революции 1830 года. До отъезда из Франции и после возвращения он отказался присягать новому режиму и даже не соглашался выступать на публике. Он был ревностным католиком, но его благотворительная деятельность затмевалась поведением, выдававшим «ханжеского, эгоистичного, узколобого фанатика»⁹⁶. Один биограф писал, что Коши был «высокомерным роялистом в политике и лицемерным, нравоучительным, богобоязненным в религии… большинство коллег-ученых недолюбливало его и считало чопорным ханжой»⁹⁷.