Жемчужина Эйлера

Первые математические работы Коши написал еще в бытность инженером. В них содержатся его результаты по многогранникам, в т. ч. теорема о жесткости (которую мы обсуждали в главе 5) и по формуле Эйлера. Эти важные результаты — один из очень немногих вкладов Коши в геометрию.

Первая особенность, отличающая доказательство формулы Эйлера, данное Коши, от предшествующих, заключается в том, что многогранники считаются полыми, а не сплошными. Точнее, он рассматривает «выпуклую поверхность многогранника»⁹⁸. Из-за его языка и оттого, что в других местах статьи он вырезает из многогранника куски, может показаться, что он по-прежнему рассматривает многогранник как сплошное тело и только для целей доказательства предполагает, что он полый.

Первый шаг доказательства Коши — преобразование этого полого многогранника в граф на плоскости. Он удаляет из многогранника одну грань, а затем «путем переноса на эту грань всех остальных вершин, не изменяя их числа, получает плоскую фигуру, состоящую из нескольких многоугольников внутри данного контура». Коши уточняет это построение, говоря, что «остальные грани… можно рассматривать как образующие набор многоугольников, содержащихся в области, которую занимала удаленная грань». Этот процесс показан на рис. 12.2, где многогранник в форме домика спроецирован на плоскость пола.

Рис. 12.2. Коши спроецировал многогранник на нижнюю грань

Жозеф Диас Жергонн (1771–1859), современник Коши, с которым мы еще встретимся в главе 15, так описывал этот процесс:

Возьмем многогранник с одной прозрачной гранью и представим себе, что глаз приближается к этой грани извне настолько близко, что можно рассмотреть внутренние поверхности всех остальных граней; это всегда возможно, если многогранник выпуклый. В этой конфигурации представим, что на плоскости прозрачной грани построена перспектива всех остальных граней⁹⁹.

В своей замечательной книге «Доказательства и опровержения» Имре Лакатос (1922–1974) изложил идею Жергонна в современном виде, предложив поместить фотокамеру рядом с удаленной гранью и сфотографировать внутренность многогранника. Тогда на фотографии появится интересующий нас граф. Наглядно представить плоскостной многогранник можно также с помощью теней, отбрасываемых его ребрами, когда рядом с удаленной гранью помещена лампа (рис. 12.3).

Рис. 12.3. Плоскостной многогранник, рассматриваемый как тень своих ребер

Коши осознал, что достаточно установить связь между числом вершин, ребер и граней этого графа, и доказал, что для любого такого графа имеет место формула V — E + F = 1. После того как этот факт установлен, уже нетрудно завершить доказательство формулы для многогранников. Граф, полученный переносом многогранника на плоскость, имеет столько же вершин и ребер, сколько многогранник, но на одну грань меньше. Поскольку для графа V — E + F = 1, то для многогранника V — E + F = 2. Распространение формулы Эйлера на графы на плоскости — одно из самых полезных ее обобщений.

Идея доказательства Коши заключается в том, чтобы добавлять и удалять ребра таким образом, что величина V — E + F не изменяется. Тогда в конце останется один треугольник, для которого V — E + F = 3–3 + 1 = 1, откуда следует, что V — E + F = 1 для исходного графа. На первом шаге доказательства Коши разбивает граф на треугольники, добавляя диагонали в каждую нетреугольную грань (рис. 12.4). Эта процедура называется триангуляцией графа. При добавлении каждой диагонали число ребер увеличивается на единицу, число граней уменьшается на единицу, а число вершин не изменяется. Поэтому величина V — E + F для модифицированного графа такая же, как для исходного. Триангулировав граф, мы начинаем упрощать его, удаляя наружные ребра по одному до тех пор, пока не останется один треугольник (один из возможных порядков упрощения обозначен числовыми метками на рис. 12.4).

Рис. 12.4. Порядок удаления треугольников из триангулированного графа

Заметим, что треугольник, примыкающий к внешней границе графа, может иметь одно или два наружных ребра. В первом случае треугольник можно удалить, убрав одно ребро и оставив на месте все вершины (как треугольник 1 на рисунке). Во втором случае для удаления треугольника нужно убрать два ребра и одну вершину (как в случае треугольника 2 на рисунке). В обоих случаях величина V — E + F не изменяется. Следовательно, она остается такой же, как для исходного графа.