Живая математика. Нематематическая книга о вдохновении, науке, образовании и жизни

У меня профессиональный опыт в области теории игр, и поэтому я знаю, что можно пытаться математически моделировать социальные процессы, политические процессы, общественные явления, но эти модели будут описывать жизнь максимум на тройку. Я это знаю и с этим мирюсь: на тройку — это же не на двойку!

Многоэтажная сложность математики

Математика — самая сложная из всех существующих наук. Механизм этой сложности я сейчас попробую вскрыть. Дело в том, что математика похожа на многоэтажное здание. Если ты не освоил предыдущий этаж, то следующий этаж тебе уже в принципе не будет доступен, и все остальные этажи тем более.

На первом этаже математики находится абстракция числа. Когда ты говоришь трёхлетнему ребёнку: «У тебя было три апельсина, я прибавил два яблока. Сколько фруктов стало?» — то, слушая ответ, уже в принципе можно понять степень его склонности к математике. Если ребёнок, не задумываясь, говорит «пять», значит, абстрактное мышление у него развито достаточно хорошо, чтобы он не замечал, что он апельсины на самом деле складывал с яблоками. А если начинается какая-то рефлексия: мол, нельзя апельсины складывать с яблоками, то перед нами либо гениальный физик, который будет заниматься размерностями величин, либо человек гуманитарного склада ума, которому сложно абстрагироваться от реальных объектов к их количествам.

Первый этаж изучается в первых четырех классах школы. Это сложение, вычитание, умножение, деление абстрактных чисел.

Следующий этаж — свободное оперирование иксами, игреками и вообще уравнениями. Когда тебе задали уравнение, а ты не рефлексируешь, что означают эти страшные буковки, которые принадлежат какому-то множеству, а просто приступаешь к решению уравнения. Это всё еще школьная алгебра (но уже, увы, доступная не всем).

А вот третий этаж — это уже абстрактные понятия типа «группа», «кольцо», «модуль», «поле» и многие другие. Всё это в школе объяснить нельзя, разве что в хорошей математической школе, и то в конце обучения. Но в целом это уже материал университетской алгебры.

А дальше есть ещё несколько этажей. Лично я где-то на третьем этаже остановился. Поэтому я и не могу сказать, сколько их там, выше меня, но несколько точно имеется (теория гомологий как четвёртый этаж, а затем ещё весь этот язык категорий и функторов — на пятом этаже — то есть как минимум ещё два этажа!).

Я дошел в своём постижении математики примерно до рубежа XIX–XX веков: то, что было до этого, я понимаю, а вот того, что сделано в математике в XX веке, уже в целом — нет.

Все остальные науки, с которыми я знакомился, устроены совершенно по-другому. Они начинаются с определённого входного порога, а потом ты бегаешь туда-сюда сколько угодно, погружаешься в более сложную тему, возвращаешься к более простой. Стоит пройти входной порог, и ты уже представитель этой области знания. Слушаешь доклады, читаешь статьи и понимаешь, о чём они повествуют.

Например, в условной биологии все происходит так. Нижний этаж у всех общий. А дальше вот это изучил немножко, вот здесь немножко… И у тебя возникает такое общее поле понимания биологии. Ты широко понимаешь её, но можешь отдельно каждую комнату изучить: они все на втором этаже, примерно на одном уровне по сложности. Биолог, который занимается генетикой мышей, может ничего не понимать про растения, и он при этом будет хорошо разбираться в своей области.

В математике так нельзя. Грамотный математик не может не знать всех этажей, хотя бы 3–4 первых из них. И если ты попробуешь зайти на доклад этажом выше своего, то будешь ощущать себя просто непроходимым болваном. Либо тебе покажется, что ты попал на урок китайского языка, потому что не будет понятно ни единого слова.

В общем, математика действительно сложная наука, и её сложность многоэтажна. Это наука для избранных людей. Каждый человек уже при рождении получает возможность дотянуться только до определенного этажа. Выше он не сможет «залезть» ни при каких стараниях, даже если поставит это себе жизненной целью.

Вот почему обычную биологию или химию можно вести для всего класса приблизительно с одинаковой скоростью. Если кто-то занимается быстрее, ему просто дают несколько дополнительных заданий. В математике такой номер не проходит от слова «совсем».

Потому что в любом классе будут те, кто за минуту схватывает материал, и те, кто даже за весь урок не смогут его понять. И эта проблема методически почти непреодолимая.

Это просто факт нашей жизни, и с ним надо жить. Проблема решается только тогда, когда в отдельные классы отбирают суперспособных детей и занимаются с ними по особой программе. Страна не может себе позволить не учить своих гениев, иначе она потеряет конкурентоспособность. Но и всех остальных надо тоже учить — иначе возникнет (к чему всё и идёт в настоящее время) сильнейшая сегрегация!