Живая математика. Нематематическая книга о вдохновении, науке, образовании и жизни

Когда математики решают задачи, они не задают себе вопрос, зачем это нужно делать. Хороший пример — Пол Эрдёш, величайший математик из всех, когда-либо занимавшихся комбинаторикой (мы говорим «комбинаториалист»). Он оставил после себя много сотен нерешенных задач, над которыми математики не без удовольствия ломают головы до сих пор. Они все очень красивые, звучат зачастую весьма просто, но непонятно как их решать, иногда даже неизвестно, с какого конца вообще к ним надо подбираться.

Вот, например, задача Эрдёша о равных расстояниях. Она фантастическая, потому что её формулировка — буквально «для детского сада». Вам дают 10 фишек, а ваша задача расставить их на плоскости так, чтобы как можно больше отрезков между ними были одинаковой длины. Как это сделать? Как доказать, что вы нашли максимальное число таких отрезков? Ну, допустим, с десятью точками компьютер худо-бедно разберётся. А что, если их 100? 1000? Какова асимптотика доли равных отрезков при оптимальном размещении растущего числа точек на плоскости? Даже приближённо никто не знает!

На мой вкус, самые красивые, самые манящие задачи — вот такие, как эта. Когда саму формулировку задачи может понять ребёнок детсадовского возраста, но решения так никто пока и не нашёл. Кому-то, наоборот, нравятся такие проблемы, которые не сформулируешь для непосвящённого. Главное для математика — это суметь разобраться в чём-то. А если в чём-то не может разобраться ни один математик мира, то это особые Эвересты для нас, непокорённые горы нашей науки, вершины в белом снегу и во льду.

Математики XXI века занимаются ровно тем же, чем занимались две с половиной тысячи лет назад, а именно — решают нерешённые загадки математики. Таких загадок довольно много. Постепенно возникают новые, но лично мне интересны не они, а старые, которым две тысячи лет. Список вопросов меняется очень медленно, а вот прорывы в решении задач могут происходить скачками — и тогда потом скажут о «революции» в математике.

Первая революция произошла в 1820-е годы. Тогда снялись все вопросы выполнения операций циркулем и линейкой. Было изобретено понятие группы, понятие поля — то есть вся современная алгебра. Вторая революция совершилась фактически на наших глазах, в конце ХХ века, когда «развязали узлы», доказали теорему Ферма, гипотезу Пуанкаре… Возможно, эта вторая революция ещё не завершена.

Конечно, хотелось бы получить ответ на самую интересную загадку математики — гипотезу Римана. Она звучит так: «Нули дзета-функции в правой полуплоскости все лежат на вертикальной прямой, где вещественная часть равна 0,5». Для понимания даже формулировки требуется некоторая математическая культура, уровня 2-го курса добротного факультета математики. Как ни странно, эта гипотеза напрямую связана с распределением простых чисел. Общепризнано, что гипотеза Римана — самая великая нерешённая проблема на сегодняшний день. Не самая старая, но самая знаменитая.

Однако в математике есть и совсем удивительные вещи.

Возьмём семиугольник. Точный, правильный семиугольник. Так вот: построить его при помощи циркуля и линейки — невозможно. Вообще. Независимо от того, сколько ты сделал построений, у тебя ничего не получится. То же самое относится и к правильным многоугольникам с одиннадцатью и тринадцатью углами. А вот семнадцатиугольник, напротив, строится: это открыл Гаусс, спустя 2000 лет после Евклида.

Невозможность построить семиугольник доказали в 1830-х годах благодаря великому алгебраисту Галуа, перевернувшему всю математику. Он дал инструменты для доказательства невозможности. Коротко говоря, любые проведения прямых и окружностей приводят к квадратным уравнениям на координаты всевозможных точек пересечения. А для того, чтобы построить семиугольник, нужно решить кубическое уравнение.

Почему математика завораживает? Потому что ты можешь ещё в детском саду узнать про задачу Эрдёша о равных расстояниях и потом всю жизнь о ней думать. И в этой задачке до сих пор неизвестно даже примерно, сколько этих отрезков будет при очень больших n.

«И что, компьютер не считает?» — спрашивают меня, когда я рассказываю о проблеме девяти точек. Начиная с n = 40 он уже ничего не считает, потому что он вообще не понимает, что значит — расставить точки на плоскости. Там же бесконечно много выборов, куда их поставить. Какие-то алгоритмы у него есть, но в подобных задачах он слаб.

В итоге получается, что в данном случае запустить ракету на Луну проще, чем «задачку из детского садика» решить. Ракета на Луну стоит каких-то денег. Бюджет на неё в случае Америки нужно утвердить в каком-нибудь конгрессе, а у нас нужно, чтобы лично Владимир Владимирович сказал, что её нужно запустить. Дальше будет потрачено некоторое количество средств, и она будет запущена. (Или упадёт, если в школе плохо детей учить.) А вот с задачкой нашей ничего не поделаешь, сколько ни приказывай.