Жизнь науки

Труд этот делится на две книги: в первой из них я охватил то, что относится к чистому анализу, во второй изложено все, что необходимо знать из геометрии, так как анализ бесконечно малых часто излагается так, что одновременно показывается и его приложение к геометрии. В обеих книгах опущены первоначальные элементы, и ведется изложение лишь, того, что либо в других местах вовсе не рассматривается пли рассматривается менее удобно, либо требуется по тем или иным соображениям.

Учение о функциях особенно обстоятельно изложено в первой книге, так как весь анализ бесконечно малых вращается вокруг переменных величин и их функций. Там показано как преобразование функций, так и разложение их, а также развертывание в бесконечные ряды. Перечисляются многие виды функций, относительно которых речь должна идти преимущественно в высшем анализе. Прежде всего я разделил их на алгебраические и трансцендентные; первые из них образуются из переменных количеств путем алгебраических действий; вторые же составляются иными способами или посредством тех же действий, повторяемых бесконечное множество раз. Алгебраические функции разделяются прежде всего на рациональные и иррациональные; я показываю разложение первых из них как на более простые части, так и на множители; эта операция оказывает весьма большую помощь в интегральном исчислении. Для вторых я указываю способ приведения их к рациональной форме путем удобных подстановок. Развертывание в бесконечные ряды касается в одинаковой степени обоих видов; к трансцендентным функциям оно применяется обычно с огромной пользой, а в какой степени учение о бесконечных рядах расширило высший анализ,— это всем известно.

Поэтому я прибавил несколько глав, где рассматриваются свойства, а также суммы многих бесконечных рядов. Некоторые из них таковы, что вряд ли могли бы быть найдены без помощи анализа бесконечно малых. К рядам этого рода относятся те, суммы коих выражаются или посредством логарифмов, или при помощи круговых дуг [аркусов]; количества эти, будучи трансцендентными, так как они выражаются путем квадратуры гиперболы и круга, по большей части рассматриваются лишь в анализе бесконечно малых. Затем я перехожу от степеней к показательным количествам, представляющим не что иное, как степени с переменными показателями. От преобразований их я перехожу к весьма естественной и богатой идее логарифмов; отсюда не только вытекает, само собой, их весьма обширное применение, но также можно получить все те бесконечные ряды, посредством которых обычно представляются упомянутые количества. Из этого выясняется весьма простой способ составления логарифмических таблиц. Подобным образом я занимался рассмотрением дуг круга; этот род величин хотя и очень отличается от логарифмов, однако связан с ними настолько тесно, что, когда один из них получает мнимый вид, то переходит в другой. Повторив затем из геометрии относящееся к нахождению синусов и косинусов кратных и дробных дуг, я вывел из синуса любой дуги синус и косинус минимальной и как бы исчезающей дуги, и тем самым все свелось к бесконечным рядам. Отсюда, так как исчезающе малая дуга равна своему синусу, а косинус ее равен радиусу, я мог сравнить любую дугу с ее синусом и косинусом посредством бесконечных рядов. Здесь я получил столь разнообразные как конечные, так и бесконечные выражения для количеств этого рода, что исчислению бесконечно малых не придется более широко заниматься исследованием их природы. Подобно тому как логарифмы требуют особого алгоритма, в котором ощущается крайне настоятельная потребность во всем анализе, так и круговые функции я привел к некоторому определенному алгоритму; таким образом, при вычислениях и логарифмы, и сами алгебраические количества могут применяться одинаково удобно. Как велика проистекающая отсюда польза для решения труднейших вопросов, ясно показывают как некоторые главы этой книги, так и весьма многие примеры из анализа бесконечно малых, которые можно было бы привести, если бы они не были уже достаточно известны и не увеличивались в числе с каждым днем.