Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Попросите Якоби или Гаусса публично высказать свое мнение не в том смысле, верно это или нет, а в смысле важности этих теорем. Позже найдутся, надеюсь, какие-то люди, которые поймут, как это полезно, и разберутся во всей этой неразберихе.

К счастью для математики, такие люди нашлись. Первым из тех, кто по достоинству оценил достижения Галуа, был Жозеф-Луи Лиувиль. В 1843 г. Лиувиль выступил ровно перед теми же людьми, которые умудрились потерять или отвергнуть три рукопись Галуа. «Я надеюсь заинтересовать Академию, – начал он, – объявлением о том, что среди бумаг Эвариста Галуа я обнаружил решение, столь же точное, сколь и глубокое, следующей красивой задачи: существует ли решение [некоторого уравнения] в радикалах». Вскоре Якоби тоже прочел бумаги Галуа и, как Галуа и надеялся, понял их важность. К 1856 г. теорию Галуа преподавали на аспирантском уровне и во Франции, и в Германии. А в 1909 г. Жюль Таннери, директор Нормальной школы, открыл памятник Галуа в его родном городе Бур-ля-Рене; при этом он поблагодарил мэра города за «возможность принести извинения гению Галуа от имени школы, куда он поступил без всякой охоты, где не встретил понимания и откуда был изгнан, но для которой стал в конечном итоге одним из самых ярких имен».

Итак, что же сделал Галуа для математики?

Его идеи не были абсолютно неслыханными; это вообще редко случается в математике. Как правило, математики строят свои теории на базе подсказок, намеков и предположений предшественников. Удобной отправной точкой здесь может стать Ars Magna Кардано, где были предложены решения для алгебраических уравнений третьей и четвертой степени. Сегодня мы записываем эти решения в виде формул и выражаем через коэффициенты. Ключевая особенность этих формул состоит в том, что решение в них выстраивается с использованием стандартных операций алгебры – сложения, вычитания, умножения и деления, а также квадратных и кубических корней. Естественно предположить, что решение уравнения пятой степени тоже можно выразить такой формулой, в которой, скорее всего, будут присутствовать также корни пятой степени. (Корень четвертой степени – это квадратный корень из квадратного корня, так что сам по себе он избыточен.) Многие математики (в том числе любители) искали эту неуловимую формулу. Чем выше степень, тем сложнее становятся формулы, так что можно было ожидать, что формула для уравнения пятой степени будет особенно замысловатой. Но время шло, а отыскать эту формулу никто не мог. Постепенно до ученых начало доходить, что у длинной череды неудач может быть вполне объективная причина: это была попытка отыскать в темной комнате черную кошку, которой там нет, то есть найти то, чего на свете в принципе не существует.

Сказанное не означает, что уравнение не имеет решений. Любое уравнение пятой степени имеет по крайней мере одно действительное решение – и всегда имеет ровно пять решений, если разрешить комплексные числа и правильно учесть кратные решения. Но эти решения невозможно заключить в алгебраическую формулу, в которой не используется ничего более сложного, чем радикалы.

Первое серьезное свидетельство в пользу того, что дело может обстоять именно так, появилось в 1770-е гг., когда Лагранж написал длинный трактат об алгебраических уравнениях. Вместо того чтобы просто отметить, что традиционные решения верны, он задался вопросом о том, почему эти решения вообще существуют. Какие особенности уравнения делают его разрешимым в радикалах? Он унифицировал классические методы решения для второй, третьей и четвертой степеней, соотнеся их с особыми выражениями в формулах решения, которые при перестановке решений ведут себя довольно интересно. В качестве тривиального примера заметим, что сумма решений будет одинаковой, в каком бы порядке мы их ни записали. Как и произведение. Алгебраисты-классики доказали, что любое полностью симметричное выражение, подобное этим, всегда может быть выражено через коэффициенты уравнения, без всякого использования радикалов.

Более интересным примером для кубического уравнения с решениями a₁, a₂, a₃ является выражение

(a₁ – a₂) (a₂ – a₃) (a₃ – a₁).

Если мы переставим решения циклически, так что a₁ → a₂, a₂ → a₃, a₃ → a₁, значение этого выражения не изменится. Однако, если мы поменяем два из них местами, так что a₁ → a₂, a₂ → a₁, a₃ → a₃, выражение поменяет знак. То есть как бы домножится на –1, а в остальном останется неизменным. Следовательно, его квадрат полностью симметричен и должен выражаться некоторым образом через коэффициенты. Это помогает объяснить, почему в формулу Кардано для решения кубических уравнений входят квадратные корни. Другое частично симметричное выражение объясняет присутствие там кубических корней.