Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Кантор учился в реальном училище в Дармштадте и жил там же в пансионе. В 1860 г. он окончил училище; его характеризовали как очень способного учащегося, подчеркивая успехи юноши в математике, особенно в тригонометрии. Отец хотел, чтобы Кантор стал инженером, и поэтому отправил его в Высшую коммерческую школу в том же Дармштадте. Но Георг-младший хотел изучать математику и донимал отца, пока тот не сдался. В 1862 г. Георг начал изучать математику в Политехническом институте в Цюрихе. В 1863 г., когда отец умер и оставил ему значительное наследство, Георг перевелся в Берлинский университет. Там он посещал лекции Кронекера, Кюммера и Вейерштрасса. После лета 1866 г., проведенного в Гёттингене, в 1867 г. он представил диссертацию «О неопределенных уравнениях второй степени» – тема из теории чисел.

После этого он начал работать учителем в школе для девочек, но работу над хабилитацией не оставил. После получения места в Университете Галле Георг представил диссертацию по теории чисел и получил степень доктора хабилис. Эдуард Хайне, видный математик в Галле, предложил Кантору сменить поле исследований и заняться знаменитой нерешенной задачей о рядах Фурье: доказать, что представление функции в этом виде единственно. Решить задачу пытались Дирихле, Рудольф Липшиц, Риман и сам Хайне, но никому из них это не удалось. Кантор решил задачу меньше чем за год. Он продолжал работать над тригонометрическими рядами еще некоторое время, и исследования привели его в области, которые мы сегодня рассматриваем как прототип теории множеств. Причина в том, что многие свойства рядов Фурье зависят от особенностей представляемой функции, например структуры множества точек, в которых эта функция имеет разрывы. Кантор не смог добиться прогресса в этих областях, не столкнувшись со сложными вопросами о бесконечных множествах действительных чисел.

Исследования в области оснований математики были на подъеме, и после столетий отношения к действительным числам как к бесконечным десятичным дробям математики начинали задумываться о том, что это все означает. К примеру, невозможно записать бесконечное десятичное представление числа π. Мы можем лишь установить правила, по которым его нужно искать. В 1872 г. в одной из статей о тригонометрических рядах Кантор ввел новый метод определения действительного числа как предела сходящейся последовательности рациональных чисел. В том же году Дедекинд опубликовал знаменитую статью, в которой определил действительное число в терминах «сечения», разделяющего рациональные числа на два непересекающихся подмножества, таких, что все элементы одного подмножества меньше любого из элементов другого подмножества. В ней он цитировал статью Кантора. Оба этих подхода – сходящаяся последовательность рациональных чисел и сечение Дедекинда – стандартны в базовых курсах математики и при построении множества действительных чисел из рациональных.

К 1873 г. Кантор углубился в исследования, результаты которых показали его как значительную фигуру в области теории множеств и трансфинитных (его собственный термин для бесконечных) чисел. Теория множеств с тех пор стала существенной частью любого математического курса, поскольку предоставляет удобный и гибкий язык для описания предмета. Если не углубляться в формальности, множество – это любой набор объектов: числа, треугольники, Римановы поверхности, перестановки и вообще что угодно. Множества можно комбинировать разными способами. К примеру, объединение двух множеств – это то, что получится, если соединить эти два множества в одно, а их пересечение – все то, что они имеют общего. Используя множества, мы можем определить такие базовые концепции, как функции и отношения. Мы можем построить такие системы чисел, как целые, рациональные, действительные и комплексные числа, из более простых составляющих, если привлечем к делу пустое множество, которое вообще не имеет элементов.

Трансфинитные числа – это способ расширить понятие «сколько элементов» на бесконечные множества. Кантор натолкнулся на эту идею в 1873 г., когда доказал, что рациональные числа счетны; то есть их можно поставить в однозначное соответствие с натуральными числами 1, 2, 3,… (Я объясню стоящие за этим идеи и терминологию чуть позже.) Если бы на свете существовал только один размер бесконечности, этот результат был бы очевиден, но он вскоре обнаружил доказательство того, что действительные числа несчетны. Об этом он опубликовал статью в 1874 г. – год, очень важный для Кантора в личном плане, поскольку именно тогда он женился на Вали Гутман; в этом браке у них родилось шестеро детей.

В поисках бесконечности еще большей, чем бесконечность действительных чисел, Кантор подумал о множестве всех точек в единичном квадрате. Ведь должен же квадрат с его двумя измерениями иметь больше точек, чем действительная прямая? Кантор высказал свое мнение в письме к Дедекинду: