Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Если a₁ = 0, пусть x₁ = 1, в противном случае пусть x₁ = 0.

Если b₂ = 0, пусть x₂ = 1, в противном случае пусть x₂ = 0.

Если c₃ = 0, пусть x₃ = 1, в противном случае пусть x₃ = 0.

Если d₄ = 0, пусть x₄ = 1, в противном случае пусть x₄ = 0.

Будем продолжать этот процесс до бесконечности, приравнивая x_n либо к 0, либо к 1, так что x_n всегда отличается от n-го десятичного знака действительного числа, соответствующего n.

По построению x отличается от любого числа в нашем списке. От первого числа оно отличается в первом знаке, от второго – во втором; в общем, это число отличается от n-го числа в n-м десятичном знаке, а значит, отличается от n-го числа, каким бы оно ни было. Однако мы предполагали, что список существует и что любое действительное число в нем имеется. Это противоречие; получается, что такого списка не существует, следовательно, множество действительных чисел несчетно.

Аналогично строится и другое открытие Кантора, в которое он сам поверил с трудом: что плоскость имеет ту же мощность, что и действительная прямая. Точка на плоскости имеет координаты (x, y), где x и y – действительные числа. Ограничимся, для простоты, единичным квадратом; тогда x и y в десятичной записи выглядят так:

x = 0, x₁ x₂ x₃ x₄…

y = 0, y₁ y₂ y₃ y₄…

Поставим этой паре в соответствие точку на прямой, в координатах которой десятичные знаки x и y стоят попеременно, вот так:

0, x₁ y₁ x₂ y₂ x₃ y₃…

Поскольку мы можем, глядя на это число, восстановить x и y, отобрав только последовательные цифры на четных или нечетных позициях, такой метод позволяет нам получить взаимно однозначное соответствие между единичным квадратом и единичным отрезком действительной прямой. Несложно расширить этот вывод на всю плоскость и всю числовую прямую. (Необходимо позаботиться о некоторых формальностях, которые я опустил, чтобы разобраться с неоднозначностью десятичного представления числа.)

Был один вопрос, который Кантор никак не мог разрешить ни так, ни этак. Существует ли трансфинитное множество, мощность которого лежала бы строго между ℵ₀ и мощностью множества действительных чисел? Кантор считал, что нет; он не смог отыскать такое множество, хотя пробовал на эту роль немало правдоподобных кандидатов. Это предположение получило известность как гипотеза о континууме, или континуум-гипотеза. За дальнейшим ее развитием мы проследим в главе 22.

* * *

На протяжении десяти лет после 1874 г. Кантор все свои усилия сосредоточил на теории множеств; он открыл значение взаимно однозначных соответствий в основании числовой системы и расширил принципы счета на трансфинитные числа. Его работа была настолько оригинальна, что многие современники Кантора были не в состоянии принять ее или поверить в ее значимость. Его математическую карьеру подпортил Кронекер, которому революционные идеи Кантора показались негодными с философской точки зрения. «Целые числа создал Господь Бог, все остальное – дело рук человеческих», – говорил Кронекер.

Кантор, можно сказать, подставился в философском плане, когда недвусмысленно заявил, что теория множеств имеет дело с актуальной бесконечностью, а не с потенциальной бесконечностью Аристотеля. Это некоторое преувеличение, поскольку актуальна эта бесконечность только в концептуальном смысле. В математике, как правило, можно перейти от описания, в котором речь идет, казалось бы, об актуальной бесконечности, к другому описанию, в котором бесконечность уже выглядит чисто потенциальной. Однако переход этот часто кажется надуманным: Кантор был прав, когда говорил, что естественный способ думать о его работе – это рассматривать бесконечность как единое целое, а не как процесс, который хотя и конечен на любом этапе, может продолжаться бесконечно. Непримиримым противником такой позиции был философ Людвиг Витгенштейн. Особенно резко он высказывался о диагональном методе и даже после смерти Кантора продолжал жаловаться на «пагубные подходы теории множеств». Но основная причина, по которой он продолжал громогласно жаловаться, состояла в том, что математики все больше и больше вставали на сторону Кантора и никто из них не обращал внимания на Витгенштейна. Это, наверно, было особенно обидно, потому что самого Витгенштейна очень интересовала философия математики, но, с другой стороны, математики не слишком любят философов, которые упорно твердят, что они, математики, все делают неправильно. Теория множеств работала, а математики в большинстве своем весьма прагматичны, даже в фундаментальных вопросах.