Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

События развивались своим чередом; Эрмит убедил совет конкурса при Парижской академии выставить на конкурс задачу, которая прекрасно укладывалась в область ее интересов, и мало кто из причастных сомневался, что Ковалевская выиграет. В 1888 г. ее действительно признали победительницей за работу о вращении твердого тела. По мере того как росла репутация Софьи Ковалевской как крупного математика-исследователя, старые барьеры начинали рушиться. В 1889 г. она была назначена ординарным профессором Стокгольмского университета, а это уже хорошо оплачиваемый пожизненный пост. Она стала первой женщиной в университете Северной Европы, получившей такой пост. После многочисленных выступлений в ее защиту Ковалевская была избрана в Российскую академию наук. Чтобы ее можно было избрать, профильному комитету пришлось сначала проголосовать за изменение правил и разрешить прием в Академию женщин; через три дня после этого избрали Ковалевскую.

Софья Ковалевская написала несколько нематематических работ, включая «Русское детство», пьесы, написанные совместно с Анной-Карлоттой, и отчасти автобиографический роман «Нигилистка» (1890 г.). Она умерла от гриппа в 1891 г.

* * *

Неожиданное открытие Ковалевской – новое решение задачи о вращении твердого тела – стало серьезным вкладом в механику, науку о том, как частицы и тела ведут себя под действием сил. Типичные примеры изучаемых процессов – качание маятника, вращение волчка и орбитальное движение какой-нибудь планеты вокруг Солнца. Как мы видели в главе 7, механика взяла настоящий старт в 1687 г., когда Ньютон опубликовал свои законы движения. Второй закон Ньютона особенно важен, потому что говорит нам, как тело движется под влиянием известных сил: масса, умноженная на ускорение, равна силе. Этот закон косвенным образом определяет положение тела через скорость изменения скорости изменения положения; возникает дифференциальное уравнение «второго порядка».

Если нам повезет, мы сможем решить это уравнение, получив формулу для положения тела в любой заданный момент времени. Если так, наше уравнение интегрируемо. Многие ранние работы в механике сводятся, по существу, к поиску систем, которые моделируются интегрируемыми уравнениями. Но даже для очень простых систем это может оказаться трудной задачей. Маятник – одна из простейших механических систем, существующих на свете, и он действительно оказывается интегрируемым; но даже в этой простейшей системе точная формула решения задействует эллиптические функции.

Для начала скажем, что интегрируемые случаи были открыты методом проб и ошибок. По мере того как математики набирались опыта, они начинали выявлять кое-какие общие принципы. Самые известные из них – законы сохранения, в которых обозначены сохраняющиеся величины, то есть величины, которые не меняются в процессе движения. Самая знакомая из этих величин – энергия. При отсутствии трения полная энергия механической системы остается постоянной. Еще сохраняются импульс и момент импульса. Если сохраняющихся величин достаточно, ими можно воспользоваться, чтобы вывести решение, – и тогда система интегрируема. Исторически сложилось, что интегрируемые случаи движения твердого тела называют «волчками».

До Ковалевской было известно два интегрируемых волчка. Один из них – волчок Эйлера, твердое тело, не подверженное действию внешних закручивающих сил (моментов кручения). Второй – волчок Лагранжа, вращающийся вокруг своей оси на плоской горизонтальной поверхности с вертикально действующей силой тяжести. Лагранж открыл, что эта система интегрируема, если волчок обладает симметрией вращения. Ключевой аспект в обоих случаях – моменты инерции волчка; это говорит о том, какой момент кручения (закручивающая сила) необходим для того, чтобы увеличить угловую скорость вращения волчка вокруг заданной оси на заданную величину. У любого твердого тела имеется три особых момента инерции, которые считают определяющими. Во времена Софьи Ковалевской каждый математик, разбирающийся в механике, знал о волчках Эйлера и Лагранжа. Он знал также – или думал, что знает, – что эти волчки – единственные интегрируемые случаи, больше таких нет. Так что открытие третьего типа волчка, сделанное Ковалевской, стало для всех шоком. Более того, этот случай не полагался на симметрию – а математики уже поняли и начинали привыкать к тому, что симметрия помогает решать уравнения. Вместо этого в новом решении использовались загадочные свойства волчка, у которого один определяющий момент инерции вдвое меньше двух других. Мы теперь точно знаем, что больше интегрируемых случаев не существует.