Знание-сила, 2007 № 08 (962)

Мимоходом применив новый анализ функций к древней теории целых чисел, Эйлер неожиданно вычислил значения дзета-функции во всех четных точках — сиречь, суммы рядов, составленных из обратных квадратов, биквадратов и так далее. Все они рационально выразились через знаменитое число Пи: почему Природе так угодно, мы не знаем до сих пор. Оттого, например, сумма ряда обратных кубов остается неизвестной, хотя удалые числовики и физики вовсю пользуются ее приближенным значением.

Кажется, что в аналитической теории чисел Эйлер «упустил» лишь одно большое открытие: не он, а его заочный ученик и соотечественник Ламберт доказал, что число Пи иррационально! (1766). Но Эйлер заранее добровольно уступил эту честь любому охочему таланту: ему самому интереснее было открывать и решать новые проблемы там, где до него их никто не видел. Например, полузабытые открытия вдохновенного Пьера Ферма в зоопарке простых чисел. За сто лет до Эйлера тихий французский юрист предположил, что все числа вида 2^(2к) + 1 — простые. Первая пятерка примеров подтвердила гипотезу Ферма, шестой пример оказался ему не по зубам. Эйлер разобрался в этом примере и разложил число (2³² + 1) на два простых множителя. Что дальше? С тех пор не найдено ни одного простого числа по формуле Ферма, но и не доказано, что их больше нет...

В другой гипотезе Ферма, называемой ныне его «большой теоремой», Эйлеру пришлось восстанавливать утраченное доказательство неравенства Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ для n = 3 и 4. Это он сделал быстро, но при n = 5 встретил неожиданное препятствие в арифметике целых комплексных чисел. И опять Эйлер оставил яркую тему для всех охочих удальцов: вы, нынешние, — ну-ка! Доказать теорему Ферма для степени 5 сумел Адриен Лежандр: в год смерти Эйлера (1783) он был избран на его место в Парижской академии наук. Полное доказательство большой теоремы Ферма появилось лишь в конце ХХ века.

Был у Эйлера еще один крестник — серьезный юноша из Турина по имени Жозеф Лагранж. В 23 года он приехал в Берлин, чтобы сообщить великому Эйлеру о своих достижениях в исчислении интегралов, особенно их минимальных и максимальных значений. Пятидесятилетний Эйлер прочел мемуары Лагранжа и пришел в восторг: вот он, мой грядущий преемник на научном троне! Он уже смыслит в вариационном исчислении столько же, сколько я в нем смыслю, и готов применять эту технику к решению крупнейших проблем небесной механики! Быть может, ему удастся доказать устойчивость Солнечной системы? Надо открыть новичку зеленую улицу — немедленно избрать его в академики, а там он, глядишь, и до президента академии дорастет. Так и случилось: в 1766 году, когда Эйлер поссорился с королем Фридрихом II и вернулся в Петербург, тактичный Лагранж стал главным математиком в Берлине. Механическую устойчивость Солнечной системы он доказал в последние годы жизни Эйлера в трактате под названием «Аналитическая механика». Сам Эйлер потратил эти годы на составление «Основ анализа» — первого учебника новой науки, адресованного не новичкам, но аспирантам, то есть кандидатам в профессора. Ведь не каждому судьба дарит счастье личного общения с Ньютоном или Лейбницем, Бернулли или Эйлером! И не каждому первопроходцу достаются такие питомцы, как Ламберт или Лагранж.

Завидовал ли Эйлер кому-нибудь в своей долгой и негладкой жизни? Если да, то только Ньютону и только в физике: ее счастливый семьянин Эйлер не ощущал так интуитивно, как великий одиночка-англичанин. Божий промысел открывался умственному взору Эйлера много раз, но почти всегда это случалось в виде формул и крайне редко в словесных или геометрических формулировках новых принципов Природы. Только раз случилось чудо, когда новый берлинский друг Эйлера маркиз Пьер Мопертюи, большой везунчик, поведал великому швейцарцу о принципе Наименьшего Действия. Их общий учитель Лейбниц полвека назад открыл сохранение полной энергии в любой механической системе. Кинетическая энергия может как угодно переходить в потенциальную или обратно; сумма их обеих остается неизменной, если нет потерь на трение.

А что можно сказать о разности двух энергий в таком переходе? Она сильно изменяется во времени; но если взять интеграл по времени от этих изменений, то на каждом отрезке он принимает наименьшее значение.

Как будто Природа готова изменять энергию только «самым экономным» способом! Эта новость поразила Эйлера в самое сердце. Счастливец Мопертюи: он хоть на миг сравнился с Ньютоном в понимании тайн Природы! Но Ньютон был велик и в математике; французский маркиз в ней совсем не велик, и вряд ли он понимает все то, что ему нашептала Природа! Что еще может уловить в этом шепоте обостренный математический слух Эйлера?