Знание-сила, 2007 № 12 (966)

Проблема смысла — в лингвистике, проблема гена — в молекулярной биологии и проблема конденсатов — внутри адронов (ядерных частиц), эти три природных чуда начинают сейчас казаться разными гранями единого научного кристалла, который еще никто не наблюдал в целости. Почти так же было с Ньютоном, когда он пытался поочередно уразуметь природу света, природу электрических либо магнитных сил и природу земного тяготения. Сам Ньютон не преуспел в этих попытках; но полтораста лет спустя Максвелл отождествил свет с переносчиком электрических и магнитных сил, а еще через полвека Эйнштейн и его коллеги поняли геометрическую разницу в симметриях квантов света и тяготения.

Джеймс Максвелл

Лев Понтрягин

Ее нельзя измерить числами, но можно измерить с помощью групп Ли, описывающих всевозможные симметрии природных объектов. Любое изменение симметрий описывается неким представлением групп Ли: эти вещи тоже успешно классифицированы могучими алгебраистами ХХ века. Но как описать управление изменением симметрий — то повседневное чудо в спектре природных сил, которое неживая Природа творила считанные разы (в ходе Большого взрыва Вселенной), но живая клетка или ученый человек творят регулярно, когда включают новые экспрессии старых генов либо новые смыслы старых слов в свою обычную деятельность? Есть ли готовый математический язык для такого описания или нужно ждать пришествия нового Ньютона, чтобы изобрести такой язык?

Такой язык уже есть! Его нечаянно изобрели американец Марстон Морс, русский Лев Понтрягин и еще один удалой американец Ричард Фейнман накануне Второй мировой войны. Чудовищные конфликты тех лет создавали такой стресс для многих ученых (особенно молодых), что одни из них сгорали в одночасье, а другие ненадолго уподоблялись Ньютону и творили новые науки за считанные часы или недели. Так Морс создал свою теорию, разложив любое гладкое многообразие в сумму простых клеток. Морс и его коллеги сразу нашли важнейшее (бесконечномерное) применение новой теории. Она описывает геометрическую структуру пространства петель, клетки в котором соответствуют биографиям любых физических систем. От почти неизменных атомов до рождающихся либо умирающих элементарных частиц, от тихих обывателей до буйных гениев политики или науки.

Достигнув этого уровня понимания существа дела, в 1940 году математик Лев Понтрягин и физик Ричард Фейнман разошлись по своим мирам. Юный физик вскоре уехал в Лос-Аламос, чтобы возглавить там расчеты ядерных взрывов. По ходу этой работы Фейнман нарастил необходимые «умственные мышцы»: он научился рассчитывать вклад любой «диаграммы Фейнмана» в сложный процесс электромагнитного взаимодействия сколь угодно энергичных частиц. К 1949 году Фейнман умел решать любую задачу в квантовой электродинамике — благо, в 1945 году его демобилизовали из ядерного проекта, и он смог тратить все силы на мирную науку. Но перенос диаграммной техники на сильные взаимодействия ядерных частиц — адронов — Фейнману не удался; эта ветвь физики (хромодинамика) не завершена до сих пор.

Согласно квантовой теории в формулировке Р. Фейнмана частица, летящая от источника к экрану, движется по всем траекториям сразу

Лев Понтрягин был на 10 лет старше Фейнмана. В казанскую ссылку он попал уже в роли академика и мог заниматься мирной топологией, даже стоя в очереди в столовой. А что еще делать слепому математику в изоляции от младших коллег? Так и Ньютон остался один на один с Природой и Наукой в 1666 году, скрываясь от чумы в деревне. За те два года ссылки Ньютон изобрел исчисление производных и интегралов. За тот же срок в Казани Понтрягин придумал группы бордизмов — оснащенных многообразий — и вычислил их в самых малых размерностях — 1 и 2. Результаты Понтрягина были опубликованы одновременно с результатами Фейнмана в 1949 году, когда СССР догнал США в сфере ядерного оружия, и началась гонка за водородной бомбой...

Пять лет спустя (после первых термоядерных взрывов) дерзкий француз Рене Том превзошел Понтрягина, рассчитав любые группы бордизмов с помощью новой гомотопической алгебры. Русский мэтр горячо одобрил эти результаты, но Ричард Фейнман не читал геометрические статьи Понтрягина и Тома. А жаль! Ведь Фейнман многократно пытался придумать физическую модель коллектива ученых, совместными усилиями создающих новую теорию, хотя бы электродинамику или хромодинамику. Согласно модели Фейнмана, биография каждого ученого изображается траекторией экстремального Действия, сиречь, ямой, седлом или холмом на гладком графике функции действия, которую приручил еще Эйлер.