Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

Мы видели, что золотое сечение является положительным корнем квадратного уравнения. Этот подход был обобщен, что дало возможность определить подобные числа, которые образуют семейство так называемых металлических сечений. Наряду с золотым сечением Ф существуют другие сечения: серебряное, бронзовое, медное… Все они аналогичны Ф в смысле геометрических построений и предела отношений чисел последовательности. Металлические отношения всегда определяются алгебраически как положительные решения квадратных уравнений

х² — px — q = 0,

где р и q — натуральные числа, которые приводят к различным сечениям из семейства металлических сечений. Если взять р = 2 и q = 1, то положительным решением уравнения будет число 1 + √2 = 2,414213562373095048. Оно называется серебряным сечением.

Если взять р = 3 и q = 1,то положительное решение уравнения (3 + √13)/2 = 2,30277563773199464… дает нам бронзовое сечение.

Аналогия между металлическими сечениями, пожалуй, лучше всего видна, когда они выражены в виде цепных дробей. Мы уже знаем, что Ф = [1¯]. Оказывается, серебряное сечение = [2¯], а бронзовое сечение = [3¯].

Используя цепные дроби для нахождения приближенного значения Ф, мы получим следующее выражение:

Мы знаем, что это верно, потому что мы можем записать (6) в виде:

Таким образом, мы нашли еще два способа выражения Ф(5) и (6). В настоящее время простота компьютерных расчетов снизила важность этих способов, но на протяжении долгого времени эти подходы всегда упоминались в классической литературе. Даже сегодня эти методы хороши для умственной разминки и требуют лишь карманного калькулятора.

Последовательность Фибоначчи

История математики полна неожиданностей. Одна из них касается золотого сечения, известного еще с древних времен и тесно связанного с геометрией. Однако спустя столетия это соотношение было найдено в ряде дробей, возникших из чисто арифметической последовательности. Гением, нашедшим эту связь между геометрией и арифметикой, был один из самых выдающихся математиков средневековья Леонардо Пизанский, более известный как Фибоначчи.

Фибоначчи написал труды по геометрии, алгебре и теории чисел, но его самая знаменитая книга посвящена вычислениям. Liber Abaci («Книга абака»), опубликованная в 1202 г., имеет обманчивое название (буквальное значение слова «абак» — «счетная доска»), возможно, намеренно ироничное, потому что в действительности она пытается продемонстрировать преимущества арабских цифр для вычислений перед методами, основанными на применении счётов и римских цифр, которые доминировали в то время в Италии. Книга Фибоначчи положила конец этой практике, но это произошло не сразу. Несмотря на то, что с помощью десятичных чисел проще было делать расчеты, новый метод распространялся не так быстро. Необходимо было преодолеть всякого рода сопротивление, прежде всего со стороны абацистов, счетоводов, которые на протяжении веков использовали счеты. Тем не менее, в конце концов алгористы, сторонники арабских цифр, победили.