Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Мы говорим, что число А является пределом последовательности {а_n}, если члены последовательности сходятся к А — то есть для достаточно большого номера n все следующие члены последовательности а_n приближаются к одному и тому же числу.

Например, последовательность {1/n} имеет предел 0.

(Дробь 1/n с ростом n все более приближается к 0.)

Последовательность {2n/(n+1)} имеет предел 2. Однако не все последовательности имеют пределы.

Таким образом, для нахождения приближенного значения Ф нет необходимости извлекать квадратные корни, достаточно просто делить друг на друга члены последовательности Фибоначчи.

Как всегда в случае с золотым сечением, все эти доказательства указывают на определенный общий результат: предел отношений членов последовательности Фибоначчи равен Ф.

Докажем это. Допустим сначала, что предел отношений членов последовательности Фибоначчи, а именно предел последовательности а_n+1/а_n равен некоторому числу L. Запишем это следующим образом:

(Напомним, что а_n+1 = a_n + a_n-1.)

Число L описывается тем же уравнением, что и Ф, поэтому L и Ф должны иметь одинаковое значение. Таким образом, золотое сечение является пределом последовательности отношений чисел Фибоначчи.

Последовательность Фибоначчи начинается с двух единиц. Если вместо этого мы начнем последовательность с любых других равных чисел и построим остальные члены по тому же правилу (каждое число является суммой двух предыдущих), то предел отношений членов такой последовательности всегда будет равен Ф. Заметим, что в приведенном выше доказательстве мы использовали только это условие:

а_n+1 = a_n + a_n-1

Удивительные числа

Как мы видели, последовательность Фибоначчи позволяет найти приближенное значение числа Ф с любой точностью, вычисляя отношения ее членов. Однако последовательность имеет гораздо больше применений, чем предсказание роста численности популяции кроликов, и она неожиданно появляется в работах других математических гениев. Давайте рассмотрим некоторые из замечательных свойств последовательности Фибоначчи.

Сумма членов последовательности Фибоначчи

Если выбрать любые 10 соседних чисел из последовательности Фибоначчи и сложить их вместе, всегда получится число, кратное 11. Например, общая сумма первых 10 членов равна:

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = 11∙13.

То же самое справедливо и для:

21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1597 = 4 147 = 11∙377.

Но это еще не все. Каждая сумма равна числу И, умноженному на седьмой член взятой подпоследовательности: 13 в первом случае и 377 во втором.

А вот еще один сюрприз. Для любого n сумма первых n членов последовательности всегда будет равна разности (n + 2)-го и первого члена последовательности. Мы видим это в случае первых десяти членов, сумма которых равна 143. Это и есть разность двенадцатого члена (144) и первого (1). В случае первых 17 членов общая сумма составляет 4180, что равно девятнадцатому члену а₁₉ (4181) минус 1.

Этот факт выражается следующей формулой:

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + … а_n = а_n+2 — 1.

Мы можем использовать этот факт для нахождения суммы любого количества последовательных членов, что для непосвященных выглядит как магия. Например, выберем любые два числа, скажем, 25 и 40, и подставим их в нашу формулу вместо n:

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + … а₄₀ = а₄₂ — 1.

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + … а₂₅ = а₂₇ — 1.

Чтобы посчитать сумму всех членов между а₂₅ и а₄₀ (от а₂₆ до а₄₀ включительно), мы просто найдем разность между этими двумя выражениями:

a₂₆ + … + a₄₀ = a₄₂ — a₂₇.

Теперь в нашем распоряжении имеется следующий трюк: чтобы найти сумму всех членов последовательности между двумя данными членами (не включая первый, но включая второй член), достаточно найти разность соответствующих (n + 2)-х членов.