Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (1623–1662)

Француз Блез Паскаль применял свои феноменальные способности во многих областях науки. В 1654 г. с ним произошел несчастный случай, когда он ехал в коляске, запряженной лошадью.

Физически он не пострадал, но инцидент имел для него психологические последствия. Паскаль отдалился от светского общества и нашел убежище в религии, посвятив себя философии и теологии. Он был замечательным писателем и внес важный вклад в физику, занимаясь мало изученными в то время вопросами об атмосферном давлении и вакууме. Он является изобретателем гидравлического пресса и шприца. Он также изобрел механический калькулятор (различные варианты вычислительной машины, называемой «паскалина»). Однако его наиболее важный вклад в науку связан с математикой, в частности, с теорией вероятностей.

Паскаль заметил, что биномиальные коэффициенты в разложении различных степеней выражения (а + Ь)ⁿ можно расположить в виде треугольника чисел. Этот треугольник носит теперь его имя (см. стр. 44).

(а + Ь)⁴ = а⁴ + 4а³Ь + 6а²Ь² + 4аЬ³ + Ь⁴

Коэффициентами данного разложения являются числа 1, 4, 6, 4, 1, которые соответствуют пятой строке треугольника Паскаля.

Общий член последовательности Фибоначчи

Фибоначчи определил свою последовательность с помощью рекуррентного соотношения. Формула общего члена последовательности была обнаружена в 1843 г. французским математиком Жаком Бине:

Эта формула показывает, что предел отношений соседних членов последовательности Фибоначчи равен золотому сечению.

Треугольник Паскаля и последовательность Фибоначчи

Треугольник Паскаля является одним из самых известных численных правил. Паскаль использовал его для разложения бинома Ньютона, но это правило уже было известно китайским ученым, а также персидскому математику XII в. Омару Хайяму.

Треугольник Паскаля строится следующим образом: в первом ряду (в нулевой строке) стоит цифра 1. Каждая следующая строка имеет на одно число больше, чем предыдущая, каждое новое число получается путем сложения двух чисел слева и справа над ним (там, где слева или справа числа нет, используется значение 0). Это определение подчеркивает связь треугольника Паскаля с последовательностью Фибоначчи, которая определяется аналогичным образом. С такими аналогичными определениями следует ожидать прямые численные соотношения между треугольником Паскаля и последовательностью Фибоначчи. И вот эта связь: надо только написать строки треугольника Паскаля одну под другой, а затем складывать элементы

по диагонали (см. диаграмму ниже), чтобы получить последовательность Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8 и т. д.).

Простые числа в последовательности Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи наполнена удивительными свойствами. Например, члены последовательности, которые являются простыми числами, могут занимать место, номер которого также является простым числом. Однако обратное не всегда верно. Например, на месте с номером n = 19 (простое число) стоит число а_n = 4181 = 37∙113 (т. е. не являющееся простым).

Продолжая тему простых чисел в последовательности Фибоначчи, мы можем высказать предположение, которое до сих пор не доказано: последовательность Фибоначчи содержит бесконечное количество простых чисел. В настоящее время неизвестно, является это предположение истинным или ложным.