Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

Число, которое делится только на себя и на единицу, называется простым. Если число имеет другие делители, кроме этих двух, оно называется составным. Например, числа 7, 13 и 23 — простые; число 32 (делящееся на 2,4,8 и 16) является составным. Любое число можно представить в виде произведения простых чисел.

Глава 2 «Золотой» прямоугольник

Из предыдущей главы мы узнали, как традиционно определяется золотое сечение: отрезок прямой линии делится в крайнем и среднем отношении, если длина всего отрезка относится к большей части так, как большая часть — к меньшей. Другими словами, целое относится к большей части как большая часть к меньшей. Теперь давайте посмотрим, как можно использовать крайнее и среднее отношение для деления на части различных фигур.

Деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Имеется отрезок АВ длины а. Мы хотим найти точку X, которая делит отрезок на две части в отношении Ф. Это деление выполняется в три этапа:

а) построим прямоугольный треугольник с катетами а и а/2 (половина длины а);

б) проведем дугу окружности с центром в точке С и радиусом СВ (равным а/2). Эта дуга пересекает сторону АС в точке S;

в) затем проведем еще одну дугу окружности с центром в точке А и радиусом AS, которая пересекает сторону АВ в точке X. Эта точка X удовлетворяет условию АХ = х = АС — (а/2) и, следовательно, является искомой точкой. Также мы можем проверить, что выполняется условие АХ/ХВ = Ф.

Этот подход называется методом построения. Почему он дает нам золотое сечение? Точка X будет искомой точкой, если она удовлетворяет условию:

АВ/АХ = АХ/ХВ

а/х = х/(а — х)

х∙х = а∙(а — х)

х² — а² — ах

х² + ах = а²

x² + ax + a²/4 = a² + a²/4

(1)

Используя формулу для квадрата суммы (s + t)² = s² + 2st + t², перепишем формулу (1) в виде:

(x + (a/2))² = a² + (a/2)². (2)

Применяя теорему Пифагора к выражению (2), мы видим, что у прямоугольного треугольника с катетами а и а/2 длина гипотенузы равна (х + а/2).

Именно такова длина гипотенузы АС, равная (х + а/2), так как CS = СВ = а/2, а AS = х = AХ.

Прямоугольники и золотое сечение

В наши дни большинство людей носит в кошельках и сумочках множество карточек: кредитные карты, визитные карточки, пропуски в библиотеку и в спортзал, а также водительские права и удостоверение личности. Мы пользуемся ими ежедневно, не обращая внимания на тот факт — вовсе не случайный и немаловажный — что большинство карточек имеет одинаковый размер и форму, по крайней мере, те же пропорции.

Чтобы убедиться в этом, достаточно измерить и сравнить стороны карточек-прямоугольников. Отношение большей стороны к меньшей в большинстве случаев является числом, очень близким к 1,618, числу Ф. Поэтому не случайно, что это отношение у большинства карт является одним и тем же, это стандартные размеры.

Мы используем отношение сторон для определения типов прямоугольников. Если у двух прямоугольников это число одинаково, мы говорим, что они одного типа. В математических терминах прямоугольники с таким свойством являются подобными прямоугольниками. Таким образом, два прямоугольника со сторонами m, n и р, q (где m < n и р < q) будут подобными, если:

m/n = p/q. (3)

Существует очень простой и эффективный способ определить, удовлетворяют ли два прямоугольника этому свойству, без измерения сторон и вычисления отношений, даже без использования карандаша и бумаги. Надо только совместить один угол меньшего прямоугольника с углом большего и продолжить его диагональ. Если продолжение диагонали меньшего прямоугольника является также диагональю большего прямоугольника, то эти прямоугольники подобны.