Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

ЗНАЧЕНИЕ И РОЛЬ ПИФАГОРОВЫХ ТРОЕК

Самая известная пифагорова тройка — из наименьшего прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами — это (5, 4, 3). Эти числа удовлетворяют соотношению:

3² + 4² = 5²

На протяжении многих веков эта тройка использовалась в виде веревки с узелками, отмечающими три длины. На некоторых изображениях, сохранившихся со времен Древнего Египта, можно видеть людей, несущих моток такой веревки с узлами. Как они ее использовали? Считается, что веревка раскладывалась на земле в форме треугольника, а узлы использовались для разметки углов. Получалась фигура, стороны которой были пропорциональны 3, 4 и 5. Таким образом строился прямоугольный треугольник.

Веревки с узлами являлись быстрым способом построения прямого угла (90°). В Египте веревки с узлами использовались для построения перпендикулярных линий при разметке прямоугольных полей вдоль илистых берегов Нила. Эти отметки каждый год смывали паводковые воды. Также эти веревки использовались при обработке камня для египетских пирамид. В сущности, в виде этих простых веревок математика применялась во всех случаях жизни.

Соотношения между числами в последовательности Фибоначчи

Три последовательных числа в последовательности Фибоначчи ведут себя предсказуемым образом. Выберем три любых последовательных числа и перемножим два крайних. Затем сравним результат с квадратом среднего числа. Разница всегда будет одинаковая, на единицу больше или меньше в зависимости от выбора чисел. Например, для чисел 3, 5 и 8 имеем 3∙8 = 5² — 1, а для чисел 5, 8 и 13 получим 5∙13 = 8² + 1.

В общем случае это соотношение между числами в последовательности Фибоначчи записывается так:

а_n² - а_n-1∙а_n+1 = (-1)^n-1

Если мы применим это свойство геометрически, мы обнаружим нечто странное. Нарисуем квадратную решетку 8 на 8 (она будет содержать 8² = 64 маленьких квадрата). Затем разделим большой квадрат на четыре части, как показано на рисунке на следующей странице. Далее мы переставим части, словно детали головоломки, и построим из них прямоугольник со сторонами 5 и 13. Но тогда он будет содержать 13∙5 = 65 маленьких квадратов! Откуда взялся дополнительный квадрат? Чтобы разобраться в этой загадке, мы должны посмотреть на углы, образуемые линиями, которыми мы разделили наш квадрат. Они не совсем равны, и когда мы строим из кусочков новую фигуру, они не образуют идеальный прямоугольник, оставляя крошечные зазоры. Эти небольшие зазоры в сумме дают дополнительную единицу площади, которая, казалось бы, появилась ниоткуда.

ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ И ТЕОРЕМА ФЕРМА

Теорема Ферма является одной из самых знаменитых математических проблем в истории. На протяжении более 350 лет эта теорема была самой мучительной математической загадкой, и лишь в 1995 г. британский ученый Эндрю Уайлс доказал ее. Теорема Ферма имеет прямую связь с Пифагором и его тройками. Теорема берет уравнение пифагоровой тройки а² = Ь² + с² и утверждает, что для любых целых показателей степеней, больших 2, невозможно найти такие целые числа а, Ь, с, чтобы выполнялось это равенство. То есть не существует такой тройки целых чисел а, Ь, с, что аⁿ = Ьⁿ + сⁿ при n > 2.