Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКИЙ — ФИБОНАЧЧИ (1170–1250)

Леонардо Пизанский родился в Пизе около 1170 г. Он более известен под прозвищем «сын Благонамеренного» (по-итальянски figlio di Bonacci).

Тем не менее, это лишь одна из версий происхождения его псевдонима. Не существует никаких доказательств, что он при жизни был известен как Фибоначчи. Ученый пришел в математику из торговли (его отец был купцом с международными связями).

Однако вскоре интерес Фибоначчи к математике вышел далеко за рамки торговли. Деловые поездки в Северную Африку дали ему возможность познакомиться с математическими работами мусульманских ученых, а именно, с индо-арабской системой счисления, заимствованной из Азии. Он сразу понял огромные преимущества этой системы над римскими цифрами. Фибоначчи стал ее убежденным сторонником и начал распространять ее по всей Европе. Именно благодаря прежде всего Фибоначчи западная культура сделала этот важный шаг вперед.

Гравюра 1504 г. из энциклопедии Margarita Philosophies Грегора Рейша иллюстрирует спор между абацистами (справа) и алгористами (слева). Из рисунка видно, что даже через три века после Фибоначчи спор о системах счисления был все еще в разгаре.

Наряду с введением новых символов и методов расчета «Книга абака» была посвящена теории чисел (например, разложению на простые множители и правилам делимости) и содержала первоклассные алгебраические задачи. Конечно, она содержала главы о ведении счетов, о распределении прибыли и убытков, а также об обмене денег. Но самым известным разделом книги является знаменитая задача о размножении кроликов, решение которой известно сегодня как последовательность Фибоначчи.

Задача формулируется следующим образом: «Сколько пар кроликов будет у нас через год, если в январе у нас была одна пара, которая каждый месяц производит на свет другую пару, начиная с марта пара, в свою очередь, производит собственное потомство каждый месяц, начиная со второго месяца».

Для решения этой задачи Фибоначчи, как истинный бизнесмен, составил таблицу. В ней он записал рост популяции кроликов и подсчитал в столбце «Итого» число пар в конце каждого месяца. Беглый взгляд на этот столбец показывает странную закономерность в последовательности: каждое число является суммой двух предыдущих.

Числа в столбце «Итого» образуют так называемую последовательность Фибоначчи, согласно рекуррентному соотношению:

а₁ = 1; а₂ = 1; а_n = а_n-1 + а_n-2(n >= 2).

Теперь посмотрим на связь между этой последовательностью и золотым сечением. Вспомним выражения (4) для степеней Ф на стр. 26, запишем их здесь в окончательной форме:

Ф³ = 2Ф +1

Ф⁴ = 3Ф + 2

Ф⁵ = 5Ф + 3

ф⁶ = 8Ф + 5

Ф⁷ = 13Ф + 8

Ф⁸ = 21Ф + 13

Если мы обратим внимание на коэффициенты в правых частях этих выражений, то увидим, что они являются последовательными членами последовательности Фибоначчи. Мы используем это для выражения n-й степени золотого сечения, где а_n является n-м членом последовательности Фибоначчи:

Ф_n = а_n∙Ф + а_n-1

Теперь рассмотрим некоторые другие связи между этими двумя понятиями. Воспользуемся калькулятором, чтобы найти отношения соседних чисел в последовательности Фибоначчи: а_n/а_n-1. Первые несколько результатов имеют мало общего с Ф, но мы продолжим вычисления. Что мы видим? Ответы вдруг начинают приближаться к значению Ф. В следующей таблице видно, что, начиная с десятого члена, каждое частное отличается от предыдущего менее чем на 0,001.