Александр Борисович Годунов родился 28 ноября 1949 года на Сахалине. Потом семья переехала в Латвию, и мать мальчика, несмотря на его маленький рост, настояла на том, чтобы сын учился балету. Она оказалась права: сын вырос, его способности оказались настоящим талантом, юного рижского танцовщика заметил Игорь Моисеев и, не раздумывая, пригласил танцевать в Москву в свою труппу. В 1967 году Годунов окончил Рижское хореографическое училище и поступил в Государственный хореографический ансамбль «Классический балет» (его чаще называли «Молодой балет»), где танцевал до 1971 года. В ансамбле работали выдающиеся педагоги – заместителем художественного руководителя и ответственным педагогом-репетитором была Суламифь Мессерер, мужской класс давал Асаф Мессерер. Подготовив первую программу и показав ее в мае 1968 года в Смоленске, ансамбль стал гастролировать по стране, затем начались длительные зарубежные гастроли. Годунов вскоре стал солистом.
В 1971 году балетмейстер Юрий Григорович пригласил его в Большой театр. Он прошел конкурсный экзамен, и его педагогом-репетитором стал Алексей Ермолаев, великий танцовщик и актер. Впоследствии Годунов говорил, что Ермолаев был его любимым учителем.
Первой партией Годунова на сцене Большого театра было па-де-труа в первой картине «Лебединого озера» в редакции Горского – Мессерера. Этот балет в те годы шел на сцене Большого театра в двух редакциях. В июне 1971 года Годунов дебютировал в партии Принца в редакции Юрия Григоровича.
Критики заметили дебют танцовщика и хвалили его на разные лады: за тонкую нюансировку роли, богатство эмоциональных оттенков и полутонов, безусловную актерскую одаренность; отметили и уникальные природные данные, легкость его огромного, словно зависающего в воздухе, прыжка, блестящее виртуозное вращение, феноменальное владение своим телом.
В 1972 году Александр Годунов принял участие во Всесоюзном конкурсе артистов балета и получил Первую премию. На 1972 год также пришлись успешный дебют Годунова в «Шопениане» и премьера балета Родиона Щедрина «Анна Каренина», балетмейстером-постановщиком которого была Майя Плисецкая. Она пригласила Александра Годунова выступить в партии Вронского, в дуэте с Мариной Кондратьевой. Через некоторое время Александр Годунов стал танцевать этот балет с Майей Плисецкой, вскоре стал ее постоянным партнером в «Лебедином озере», а с 1974 года в «Кармен-сюите» (хореография Альберто Алонсо) и «Гибели розы» (хореография Ролана Пети). Они были замечательным дуэтом.
В 1973 году Александр Годунов принял участие во Втором Московском международном конкурсе артистов балета и получил Первую премию и золотую медаль. В том же году он дебютировал в партии Базиля в «Дон Кихоте». В 1976 году Годунову было присвоено звание заслуженного артиста РСФСР. В 1979 году состоялась премьера балета С. Прокофьева «Ромео и Джульетта» в постановке Юрия Григоровича, в котором Годунов стал первым исполнителем партии Тибальда. Казалось бы, все складывалось прекрасно. И в личной жизни Годунов был счастлив – он женился на женщине, которую полюбил всей душой.
Когда произошла их встреча, Людмила Власова уже была замужем за танцовщиком Станиславом Власовым. Но вскоре оставила мужа и стала женой Годунова. Ее не остановила даже разница в возрасте – Александр был младше Людмилы на семь лет. Власова, привыкшая к благополучию, первое время вынуждена была вести очень скромную, совершенно не похожую на прежнюю жизнь.
Они прожили вместе около восьми лет. Истинная драма этой истории в том, что Годунов любил свое искусство такой же сильной любовью, как и свою жену.
С самого начала его выступлений в Большом театре ярко одаренный Годунов оказался под подозрением – у многих возникали мысли о том, что рано или поздно он не вернется на родину. Примерно в течение пяти лет он был «невыездным». Поскольку, в то время как другие премьеры много времени проводили на гастролях, Годунов очень много танцевал на сцене Большого театра, репертуар его стал на редкость разнообразным. Анализируя его работы, критики говорили о страстности и неистовости его Спартака, ошеломляющем по динамике танце Ивана Грозного, о тончайшем психологизме танцовщика в партии Хосе, о виртуозном, на пределе человеческих возможностей, исполнении партии Базиля.
В августе 1979 года, во время гастролей Большого театра, Александр Годунов, станцевав свой последний танец в Метрополитен-опера, не вернулся в гостиницу, где его ждала жена. Только на следующий день Людмила Власова узнала о том, что муж попросил политического убежища в Штатах. Его манили слава и возможности, которые щедро предоставлял Голливуд талантливым актерам и каких, увы, не было на родине.