200 занимательных логических задач

Итак, Саше 15 лет, одному его брату – 18, другому – 12, третьему – 5, а отцу – 45 лет.

92. На развернутом листе будет 128 дырок. Надо принять во внимание, что при каждом складывании листа количество дырок удваивается.

93. Надо зажечь спичку, и очень быстро, пока она разгорается, опустить ее в бутылку с дымом, который при этом сразу же будет вытеснен.

94. Можно предположить, что фрукты весят 10 кг, а корзинка 1 кг. Но тогда фрукты тяжелее корзинки на 9 кг, а по условию они тяжелее ее на 10 кг. Значит фрукты весят 10,5 кг, а корзинка 0,5 кг. (См. также задачу 87).

95.

Как видим, эта задача представляет собой геометрическое толкование того, что 4 x 9 = 6 x 6.

96. Три человека: дед, отец и сын – это два отца и два сына – поймали трех зайцев, каждый по одному.

97. У Насти дома живет один попугай, один котенок и один кролик.

98. Эффект этой задачи-фокуса заключается в том, что увеличение любого трехзначного числа до шестизначного путем его дублирования равносильно умножению этого трехзначного числа на 1001. Кроме того, произведение чисел 13, 11 и 7 также равно 1001. Следовательно, если получившееся шестизначное число разделить в любой последовательности на эти три числа (13, 11, 7), то получится исходное трехзначное число. (См. также задачу 183).

99.

100. Тем или иным языком владеют 90 школьников, так как по условию 10 человек не освоили ни одного языка. Из этих 90 человек 15 не сдали немецкий, так как 75 его сдали по условию, а 7 человек не сдали английский, так как 83 его сдали по условию. Значит всего не сдавших какой-либо один из экзаменов: 15 + 7 = 22 человека из 90. Следовательно, двумя языками овладели 90–22 = 68 школьников.

101. Любая посуда правильной цилиндрической формы, если смотреть на нее сбоку представляет собой прямоугольник. Как известно, диагональ прямоугольника делит его на две равные части. Точно так же цилиндр делится пополам эллипсом. Из наполненной водой посуды цилиндрической формы надо отливать воду до тех пор, пока поверхность воды с одной стороны не достигнет угла посуды, где ее дно смыкается со стенкой, а с другой стороны края посуды, через который она выливается. В этом случае в посуде останется ровно половина воды.

102. Может показаться, что за указанный период стрелки часов совпадут всего три раза: в 12 часов дня, потом в 24 часа этого же дня и в 12 часов следующего дня. На самом же деле часовая и минутная стрелки совпадают каждый час один раз (когда минутная обгоняет часовую). С 6 часов утра одного дня до 10 часов вечера другого дня проходит 40 часов, значит за это время часовая и минутная стрелки должны совпасть 40 раз. Однако 3 часа из этих 40 часов составляют исключение: в первом часу (неважно – дня или ночи) они не совпадают. Для пояснения этого, представим себе, что стрелки совпали в 12 часов (дня или ночи). Следующий раз минутная стрелка догонит часовую не в первом часу, а только в начале второго. Поскольку такая ситуация с 6 часов утра одного дня до 10 часов вечера другого дня имеет место 3 раза (в 12 часов одного дня, потом в 12 часов ночи и в 12 часов другого дня), то в указанный промежуток времени часовая и минутная стрелки совпадут не 40, а 37 раз. (См. также задачу 195).

103. Скорость теплохода примем за х, а скорость реки за у. Поскольку из Нижнего Новгорода до Астрахани теплоход плывет по течению, то его собственная скорость и скорость реки складываются, т. е. до Астрахани он плывет со скоростью (х + у). На обратном пути теплоход плывет против течения, т. е. со скоростью (х – у). Как известно расстояние равно произведению скорости на время. Зная, что теплоход проделывал один и тот же путь за 5 и за 7 суток, можно составить уравнение:

5 (х + у) = 7 (х – у)

Преобразуем:

5х + 5у = 7х – 7у

7у + 5у = 7х – 5х

12у = 2х

6у = х

Как видим, собственная скорость теплохода в 6 раз больше скорости реки. Значит по течению (из Нижнего Новгорода до Астрахани) он плывет со скоростью в 7 раз большей скорости реки, ведь в этом случае скорости теплохода и реки складываются. Поскольку плот плывет только по течению, то его скорость равна скорости реки, а значит она в 7 раз меньше, чем скорость теплохода на пути в Астрахань. Следовательно, и времени на тот же путь плот затратит в 7 раз больше, чем теплоход:

5 · 7 = 35 суток.

104. Можно сходу ответить, что 12 куриц за 12 дней снесут 12 яиц. Однако это не так. Если три курицы за три дня несут три яйца, значит одна курица за те же три дня несет одно яйцо. Следовательно, за 12 дней она снесет 12: 3 = 4 яйца. Если же куриц будет 12, то за 12 дней они снесут

12 · 4 = 48 яиц.

105. 111 – 11 = 100