5a. Электричество и магнетизм

Чтоб определить поле в точке на расстоянии r от центра, представим сферическую гауссову поверхность радиуса r (r

Заряд внутри нее равен внутреннему объему, умноженному на r, т. е.

Применяя закон Гаусса, получаем величину поля

(5.7)

Вы видите, что при r=R эта формула дает правильный резуль­тат. Электрическое поле пропорционально расстоянию от центра и направлено по радиусу наружу.

Аргументы, которые мы только что приводили для однород­но заряженного шара, можно применить и к заряженной сфере. Опять предполагая радиальность и сферическую симметрию поля, из закона Гаусса немедленно получаем, что поле вне сфе­ры во всем подобно полю точечного заряда, поле же внутри сфе­ры — нуль (если мы проведем гауссову поверхность внутри сфе­ры, то внутри нее зарядов не окажется).

§ 8. Точен ли закон Кулона?

Если мы вглядимся чуть пристальнее в то, как поле внутри сферы оказывается нулевым, то лучше поймем, почему закон Гаусса обязан своим происхождением закону Кулона, т. е. точ­ной зависимости силы от второй степени расстояния. Возьмем произвольную точку Р внутри однородно заряженной сфери­ческой поверхности.

Фиг. 5.9. Во всякой точке Р внутри заряженной сфериче­ской оболочки поле равно нулю.

Представим узкий конус, который начи­нается в точке Р и тянется до поверхности сферы, вырезая там небольшой сферический участок Da_t (фиг. 5.9). В точности сим­метричный конус по другую сторону вершины вырежет на по­верхности площадь Dа₂. Если расстояния от Р до этих двух элементов площади равны r₁ и r₂, то площади находятся в от­ношении

(Вы можете доказать это для любой точки шара с помощью гео­метрии.)

Если поверхность сферы заряжена равномерно, то заряд Dq на каждом элементе поверхности пропорционален его пло­щади

Тогда закон Кулона утверждает, что величины полей, созда­ваемых в Р этими двумя элементами поверхности, находятся в отношении

Поля в точности взаимно уничтожаются. Таким способом можно разбить на пары всю сферу. Значит, все поле в точке Р равно нулю. Но вы видите, что этого не было бы, окажись показатель степени r в законе Кулона не равным в точности двойке.

Справедливость закона Гаусса зависит от закона обратных квадратов Кулона. Если бы закон силы не подчинялся в точности зависимости 1/r², то поле внутри однородно заряженной сфе­ры не было бы в точности равно нулю. Например, если бы поле менялось быстрее (скажем, как 1/r³), то часть сферы, которая ближе к точке Р, создала бы в точке Р более сильное поле, чем дальняя часть. Получилось бы (для положительного поверх­ностного заряда) радиальное поле, направленное к центру. Эти заключения подсказывают нам элегантный путь проверки точности выполнения закона обратных квадратов. Для этого нужно только узнать, в точности ли поле внутри однородно за­ряженной сферы равно нулю.

Наше счастье, что такой способ существует. Ведь обычно трудно измерить физическую величину с высокой точностью. Добиться однопроцентной точности было бы нетрудно, но как быть, если нам понадобится измерить закон Кулона с точностью, скажем, до одной миллиардной? Можно почти ручаться, что из­мерить с такой точностью силу, действующую между двумя за­ряженными телами, не способны даже лучшие приборы. Но если только нужно убедиться в том, что поле внутри сферы меньше некоторого значения, то можно провести довольно точное из­мерение справедливости закона Гаусса и тем самым проверить обратную квадратичную зависимость в законе Кулона. В сущ­ности происходит сравнение закона силы с идеальным законом обратных квадратов. Именно такие сравнения одинаковых, или почти одинаковых, вещей обычно становятся основой самых точ­ных физических измерений.

Как же наблюдать поле внутри заряженной сферы? Один из способов,— это попытаться зарядить тело, дотронувшись им до внутренней части сферического проводника. Вы знаете, что если коснуться металлическим шариком заряженного тела, затем электрометра, то прибор зарядится и стрелка отклонится от нуля (фиг. 5.10, а). Шар собирает на себя заряды, потому что снаружи заряженной сферы имеются электрические поля, за­ставляющие заряды переходить на шарик (или с него). А если вы проделаете тот же опыт, коснувшись шариком внутренности заряженной сферы, то увидите, что к электрометру заряд не подводится. Из такого опыта сразу видно, что внутреннее поле составляет в лучшем случае несколько процентов от внешнего и что закон Гаусса верен, по крайней мере, приближенно.

Кажется, первым, заметившим, что поле внутри заряженной сферы равно нулю, был Бенджамен Франклин. Это показалось ему странным. Когда он сообщил об этом Пристли, тот заподоз­рил, что это связано с законом обратных квадратов, потому что было известно, что сферический слой вещества не создает внут­ри себя поля тяготения. Но Кулон измерил обратную квадра­тичную зависимость только через 18 лет, а закон Гаусса появился на свет и того позже.

Фиг. 5.10. Внутри замкну­той проводящей оболочки электрическое поле равно нулю.

Закон Гаусса был про­верен очень тщательно; для этого электрометр помещали внутрь большой сферы и наблюдали, отклонится ли стрелка, когда сферу зарядят до высокого напряжения. Результат всегда получался отрицательным. Если знать геометрию аппарата и чув­ствительность прибора, можно рассчитать наименьшее поле, которое еще доступно наблю­дению. Из этого числа можно установить верхний предел отклонения показателя степени от двух. Если записать зависи­мость электростатической силы от расстояния в виде r^-2+e, то можно определить верхнюю границу e. Этим способом Максвелл узнал, что e меньше 1/10000. Опыт был повторен и усовершен­ствован в 1936 г. Плимптоном и Лафтоном. Они обнаружили, что кулонов показатель отличается от 2 меньше чем на одну миллиардную.

Это подводит нас к интересному вопросу: как точно выполня­ется закон Кулона в различных обстоятельствах? В только что описанных опытах измерялась зависимость поля от расстояния на расстояниях порядка десятков сантиметров. А что можно сказать о внутриатомных расстояниях, скажем внутри атома водорода, где, как мы считаем, электрон притягивается к ядру по тому же закону обратных квадратов? Конечно, для описа­ния механической части поведения электрона нужна кванто­вая механика, но сила здесь — по-прежнему привычная элект­ростатическая сила. В постановке задачи об атоме водорода известна потенциальная энергия электрона как функция рас­стояния от ядра, и тогда закон Кулона приводит к потенциалу, обратно пропорциональному первой степени расстояния. С ка­кой точностью этот показатель известен на таких малых расстоя­ниях? В итоге очень тщательных измерений относительного расположения уровней энергии водорода, проведенных в 1947 г. Лэмбом и Ризерфордом, нам теперь известно, что и на расстоя­ниях порядка атомных, т. е. порядка ангстрема (10^-8см),пока­затель выдерживается с точностью до одной миллиардной.

Такая точность измерений Лэмба и Ризерфорда оказалась возможной опять благодаря одной физической «случайности». Среди состояний атома водорода есть два таких, у которых энер­гии должны быть почти одинаковыми лишь в том случае, если потенциал меняется точно по закону 1/r. Измерялась очень ма­лая разница в энергиях по частоте w фотонов, испускаемых или поглощаемых при переходах из одного состояния в другое (сог­ласно формуле DE=hw). Расчеты показали, что DE заметно отличалась бы от наблюдавшегося значения, если бы показатель степени в законе силы 1/г² отличался бы от 2 только на одну миллиардную.

А верен ли этот закон и на еще меньших расстояниях? В ядер­ной физике измерения показали, что на типично ядерных рас­стояниях (порядка 10^-13 см) существуют электростатические силы и что меняются они все еще как обратные квадраты расстоя­ний. Одно из свидетельств в пользу этого мы разберем в следую­щих главах. Мы уверены, таким образом, что закон Кулона еще выполняется и на расстояниях около 10^-13 см.

А что можно сказать о расстоянии 10^-14 см! Этот интервал исследовали, бомбардируя протоны очень энергичными элект­ронами и следя за тем, как они рассеиваются. Сегодняшние дан­ные указывают на то, что на этих расстояниях закон терпит крах. Электрические силы на расстояниях меньше 10^-14 см оказываются чуть ли не в 10 раз слабее. Этому есть два объясне­ния. То ли закон Кулона на таких маленьких расстояниях не действует, то ли эти тела (электроны и протоны) не являются точечными зарядами. Возможно, что один из них как-то размазан (а может, и оба). Большинство физиков предпочитают думать, что размазан заряд протона. Мы знаем, что протоны сильно взаимодействуют с мезонами. Это означает, что протон время от времени существует в виде нейтрона с p⁺ - мезоном вокруг. Такое расположение в среднем выглядело бы как небольшой шарик положительного заряда. А мы знаем, что нельзя считать поле шара зарядов меняющимся вплоть до самого центра по закону 1/r². Вполне вероятно, что заряд протона размазан, но теория пионов еще очень несовершенна, и не исключено, что и закон Кулона на малых расстояниях отказывает. Вопрос пока остается открытым.

Еще один каверзный вопрос: если закон обратных квадратов верен и на расстояниях порядка 1 м и на расстояниях порядка 10^-10 м, то остается ли тем же коэффициент 1/4pe₀? Да,— гласит ответ,— по крайней мере, с точностью до 15 миллионных.

Вернемся теперь к важному вопросу, от которого мы отмах­нулись, когда говорили об опытном подтверждении закона Гаусса.

Вас могло удивить, как в опыте Максвелла и Плимптона— Лафтона удалось достичь такой точности. Ведь вряд ли сфери­ческий проводник мог быть идеальной сферой. Достичь точно­сти в одну миллиардную — это прекрасно; но резонно спро­сить: как могли они столь точно изготовить сферу? Наверняка на сфере были небольшие неправильности, как на всякой реаль­ной сфере, и не могли ли эти нерегулярности создать какое-то поле внутри? Мы хотим показать теперь, что в идеальной сфере вовсе нет необходимости. Оказывается можно доказать, что внут­ри замкнутой проводящей оболочки любой формы поля не бы­вает. Иными словами, опыты зависели от 1/r², но никак не были связаны со сферической формой поверхности (разве что со сфе­рой легче было бы рассчитать поле, если бы закон Кулона ока­зался ошибочным). Итак, мы снова возвращаемся к этому воп­росу. Для решения его нам нужно знать кое-какие свойства проводников электричества.

§ 9. Поля проводника

Проводник электричества — это твердое тело, в котором есть много «свободных» электронов. Электроны могут двигаться в веществе свободно, но не могут покидать поверхности. В ме­талле бывает так много свободных электронов, что всякое элект­рическое поле приводит многие из них в движение. И либо воз­никший таким образом ток электронов должен непрерывно поддерживать свое существование за счет внешних источников энергии, либо движение электронов прекращается, как только они разрядят источники, вызвавшие ноле вначале. В условиях «электростатики» мы не рассматриваем непрерывных источни­ков тока (о них мы будем говорить в магнитостатике), так что электроны движутся только до тех пор, пока не расположатся так, что повсюду внутри проводника создастся нулевое элект­рическое поле. (Как правило, это происходит в малые доли се­кунды.) Если бы осталось внутри хоть какое-нибудь поле, оно бы вынудило двигаться еще какие-то электроны; возможно только такое электростатическое решение, когда поле всюду внутри равно нулю.

Теперь рассмотрим внутренность заряженного проводящего тела. (Мы имеем в виду внутреннюю часть самого металла.) Так как металл — проводник, то внутреннее поле должно быть ну­лем, а значит, и градиент потенциала j равен нулю. Это значит, что j от точки к точке не меняется. Любой проводник — это эквипотенциальная область, и его поверхность — эквипотен­циальна. Раз в проводящем материале электрическое поле пов­сюду равно нулю, то и дивергенция Е тоже равна нулю, и по закону Гаусса плотность заряда во внутренней части провод­ника обращается в нуль.

Но если внутри проводника не может быть зарядов, как же он вообще может быть заряжен? Что мы имеем в виду, когда говорим, что проводник «заряжен»? Где эти заряды? Они нахо­дятся на поверхности проводника, где существуют большие силы, не дающие им покинуть ее, так что они не вполне «сво­бодны». Когда мы будем изучать физику твердого тела, мы уви­дим, что избыточный заряд в любом проводнике находится толь­ко в узком слое у поверхности, толщиной в среднем в один-два атома. Для наших нынешних целей достаточно правильно будет говорить, что любой заряд, попавший на (или в) проводник, собирается на его поверхности; внутри проводника никаких зарядов нет.

Мы замечаем также, что электрическое поле возле самой поверхности проводника должно быть нормально к поверхности. Касательной составляющей у него быть не может. Если бы она появилась, электроны двигались бы вдоль поверхности; нет сил, которые способны помешать этому. Это можно выразить и иначе: мы знаем, что линии электрического поля должны всег­да быть направлены поперек эквипотенциальной поверхности.

Применяя закон Гаусса, мы можем связать напряженность поля у самой поверхности проводника с локальной плотностью заряда на поверхности. За гауссову поверхность мы примем не­большой цилиндрический стакан, наполовину погруженный в проводник, а наполовину выдвинутый из него (фиг. 5.11). Вклад в общий поток Е дает только та часть стакана, которая находится вне проводника. Тогда поле у наружной поверх­ности проводника равно

Вне проводника:

(5.8)

Фиг. 5.11. Электрическое поле у самой внешней поверхности провод­ника пропорционально локальной поверхностной плотности заряда.

1 — гауссова поверхность; 2 — локаль­ная плотность поверхностного заряда.s.

Почему слой зарядов на проводнике создает не такое поле, как слой зарядов сам по себе! Иначе говоря, почему (5.8) вдвое больше (5.3)? Но ведь мы не утверждали, будто в проводнике нет больше никаких «других» зарядов. В действительности для того, чтобы в проводнике Е было равно 0, в нем обязательно должны присутствовать какие-то заряды. В непосредственной близости от точки Р на поверхности заряды действительно соз­дают поле E_лок=s_лок/2e₀ как внутри, так и снаружи поверхно­сти. Но все прочие заряды проводника сообща «устраивают за­говор», чтобы создать в точке Р добавочное поле, равное по величине Е_лок. Суммарное внутреннее поле обращается в нуль, а наружное удваивается: 2E_лок=s/e₀.

§ 10. Поле внутри полости проводника

Вернемся теперь к проблеме пустотелого резервуара — про­водника, имеющего внутри полость. В металле поля нет, а вот есть ли оно в полости? Покажем, что если полость пуста, то поля в ней быть не может, какова бы ни была форма провод­ника или полости (фиг. 5.12). Рассмотрим гауссову поверхность, подобную S на фиг. 5.12, которая окружает собой полость, но остается всюду в веществе проводника. Всюду на поверхности S поле равно нулю, так что потока сквозь S быть не может, и суммарный заряд внутри S должен быть равен нулю. Затем можно вывести из симметрии, что на внутренней поверхности сферической оболочки нет никакого заряда. Но в более общем случае мы только можем сказать, что на внутренней поверх­ности проводника имеется равное количество положительного и отрицательного зарядов. Может быть, окажется, что на од­ной части имеется положительный заряд, а где-то в другом месте — отрицательный (см. фиг. 5.12)? Такие вещи законом Гаусса не исключаются.

Фиг. 5.12. Чему равно поле в пустой полости проводника произвольной формы?

На самом деле, конечно, получается, что равные, но проти­воположные заряды на внутренней поверхности должны были бы соскользнуть навстречу друг другу и уничтожить друг дру­га. Мы можем убедиться в том, что они уничтожат друг друга, применив закон о равенстве нулю циркуляции Е (электроста­тику). Пусть на каких-то частях внутренней поверхности ока­зались заряды. Мы знаем, что еще где-то должно присутствовать равное количество противоположных зарядов. Но любые ли­нии поля Е начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных (мы рассматриваем случай, когда свобод­ных зарядов в полости нет). Представим себе теперь контур Г, пересекающий полость вдоль линии силы от какого-то положи­тельного заряда к какому-то отрицательному и возвращаю­щийся к исходной точке по телу проводника (см. фиг. 5.12). Интеграл вдоль такой линии сил в пределах от положительного до отрицательного заряда не был бы равен нулю, а интеграл по пути через металл

равен нулю, так как там Е = 0. Так что мы бы имели

Но криволинейный интеграл от Е по любому замкнутому кон­туру в электростатическом поле всегда равен нулю. Значит, внутри пустой полости не может быть никаких полей, равно как не может быть никаких зарядов на внутренней поверхности.

Заметьте, что мы все время подчеркивали, что полость пуста. Если поместить какие-то заряды в фиксированных местах по­лости (скажем, на изоляторе или на небольшом проводнике, изолированном от основного), то внутри полости могут быть поля. Но тогда она уже не будет «пустой».

Мы показали, что если полость целиком окружена провод­ником, то никакое статическое распределение зарядов снаружи никогда не создаст поля внутри. Это объясняет принцип «защи­ты» электрического оборудования, которое помещается в ме­таллическую коробку. К тем же рассуждениям можно прибег­нуть, если нужно показать, что никакое статическое распреде­ление зарядов внутри замкнутого сплошного проводника не может создать поля вне его. Защита действует в обе стороны! В электростатике (но не в изменяющихся полях) поля по обе стороны сплошной проводящей оболочки полностью не зависят одно от другого.

Теперь вы понимаете, почему удалось проверить закон Ку­лона с такой точностью. Форма полой оболочки не имела зна­чения. Она вовсе не должна была быть круглой, она могла быть и кубом! Если закон Гаусса точен, то поле внутри всегда равно нулю. Вы понимаете теперь, почему вполне безопасно сидеть внутри высоковольтного генератора Ван-де-Граафа в миллион вольт, не боясь, что вас ударит ток, — Вас охраняет сам Гаусс!