5a. Электричество и магнетизм

А вот и другой. Пусть имеется сферическая поверхность, на которой поверхностный заряд распределен пропорционально косинусу полярного угла. Интегрировать такое распределение— задача, откровенно говоря, не из приятных. Но как ни странно, на помощь приходит принцип наложения. Представьте себе шар с однородной объемной плотностью положительных зарядов и другой шар с такой же однородной объемной плотностью заря­дов, но противоположного знака. Первоначально они вложены друг в друга, образуя нейтральный, т. е. незаряженный шар. Если затем положительный шар чуть сместить по отношению к отрицательному, то нутро незаряженного шара так и останется незаряженным, но на одной стороне возникнет небольшой поло­жительный заряд, а на противоположной — такой же отрица­тельный (фиг. 6.6). И если относительное смещение двух шаров мало, то эти заряды эквивалентны существованию поверхност­ного заряда (на сферической поверхности) с плотностью, про­порциональной косинусу полярного угла.

Когда же нам понадобится потенциал этого распределения, то брать интегралы не нужно. Мы знаем, что потенциал каждого заряженного шара —- в точках вне его— совпадает с потенциа­лом точечного заряда. А два смещенных шара — все равно, что два точечных заряда; значит, искомый потенциал и есть как раз потенциал диполя.

Фиг. 6,6. Две равномерно заряженные сферы, вложенные друг вдруга и слегка смещенные, эквивалентны неоднородному распределению

поверхностного заряда.

Таким путем можно показать, что распределение зарядов на сфере радиуса а с поверхностной плотностью

создает снаружи сферы такое же поле, как и диполь с моментом

Можно также показать, что внутри сферы поле постоянно и равно

Если q — угол с положительной осью z, то электрическое поле внутри сферы направлено по отрицательной оси z. Рассмотрен­ный нами пример отнюдь не досужая выдумка составителя за­дач; он нам встретится еще в теории диэлектриков.

§ 5. Дипольное приближение для произвольного распределения

Столь же интересно и не менее важно поле диполя, возни­кающее при других обстоятельствах. Пусть у нас есть тело со сложным распределением заряда, скажем, как у молекулы воды (см. фиг. 6.2), а нас интересует только поле вдали от него. Мы покажем, что можно получить сравнительно простое выраже­ние для полей, пригодное для расстояний, много больших, чем размеры тела.

Мы можем смотреть на это тело, как на скопление точеч­ных зарядов q_iв некоторой ограниченной области (фиг. 6.7). (Позже, если понадобится, мы q_iзаменим на pdV.) Пускай заряд q_iудален от начала координат, выбранного где-то внутри груп­пы зарядов, на расстояние d_i . Чему равен потенциал в точке Р, расположенной где-то на отлете, на расстоянии R, много боль­шем, чем самое большое из d_i,? Потенциал всего нашего скопле­ния выражается формулой

(6.21)

где r_i — расстояние от Р до заряда q_i(длина вектора R-d_i). Если расстояние от зарядов до Р (до точки наблюдения) чрез­вычайно велико, то каждое из r_i можно принять за R. Каждый член в сумме станет равным q_i/R, и 1IR можно будет вынести из-под знака суммы. Получится простой результат

(6.22)

где Q — суммарный заряд тела. Таким образом, мы убеди­лись, что из точек, достаточно удаленных от скопления зарядов, оно кажется просто точечным зарядом. Этот результат в общем не очень удивителен.

Но что, если положительных и отрицательных зарядов в группе окажется поровну? Суммарный заряд Q тогда будет равен нулю. Это не такой уж редкий случай; мы знаем, что большинство тел нейтрально. Нейтральна молекула воды, но заряды в ней размещаются отнюдь не в одной точке, так что, приблизившись вплотную, мы должны будем заметить какие-то признаки того, что заряды разделены. Для потенциала произвольного рас­пределения зарядов в нейтральном теле мы нуждаемся в при­ближении, лучшем, чем даваемое формулой (6.22). Уравнение (6.21) по-прежнему годится, но полагать r_i=R больше нельзя. Для r_i нужно выражение поточнее. В хорошем приближении r_i можно считать отличающимся от R (если точка Р сильно уда­лена) на проекцию вектора d на вектор R (см. фиг. 6.7, но вы должны только представлять себе, что Р намного дальше, чем показано). Иными словами, если e_r — единичный вектор в нап­равлении R, то за следующее приближение к r_iнужно принять

(6.23)

Но нам ведь нужно не r_i, а 1/r_i; оно в нашем приближении (с учетом d_i<равно

(6.24)

Подставив это в (6.21), мы увидим, что потенциал равен

(6.25)

Многоточие указывает члены высшего порядка по d/R, ко­торыми мы пренебрегли. Как и те члены, которые мы выписали, это последующие члены разложения 1/r_iв ряд Тэйлора в ок­рестности 1/R по степеням d_i/R,

Первый член в (6.25) мы уже получили; в нейтральных телах он пропадает. Второй член, как и у диполя, зависит от 1/R². Действительно, если мы определим

(6.26)