6a. Электродинамика

§ 2. Поля точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью

Итак, мы нашли потенциалы точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью. Для практических целей нам нужно найти поля. Равномерно движущиеся заряды попадаются бук­вально на каждом шагу, скажем проходящие через камеру Вильсона космические лучи или даже медленно движущиеся электроны в проводнике. Так что давайте хотя бы посмотрим, как выглядят эти поля для любых скоростей заряда, даже для скоростей, близких к скорости света, но предположим при этом, что ускорение вообще отсутствует. Это очень интересный вопрос.

Поля мы будем находить по обычным правилам, исходя из потенциалов

Возьмем сначала E_z:

Но компонента A_zравна нулю, а дифференцирование выра­жения (26.1) для j дает

(26.2)

Аналогичная процедура для Е_уприводит к

(26.3)

Немного больше работы с x-компонентой. Производная от j более сложна, да и А_хне равна нулю. Давайте сначала вычислим —дj/дх:

(26.4)

А затем продифференцируем А_хпо t:

(26.5)

И, наконец, складывая их, получаем

(26.6)

Бросим на минуту заниматься полем Е, а сначала найдем В. Для его z-компоненты мы имеем

Но, поскольку А_yравна нулю, у нас остается только одна производная. Заметьте, однако, что А_хпросто равна vj, а производная (d/dy)vjравна —vE_y . Так что

(26.7)

Аналогично,

или

(26.8)

Наконец, компонента В_хравна нулю, поскольку равны нулю и А_уи А_г. Таким образом, магнитное поле можно запи­сать в виде

(26.9)

Теперь посмотрим, как выглядят наши поля. Мы попытаемся нарисовать картину поля вокруг положения заряда в настоящий момент. Конечно, влияние заряда в каком-то смысле происхо­дит из запаздывающего положения, но, поскольку мы имеем дело со строго заданным движением, запаздывающее положение однозначно определяется положением в настоящий момент. При постоянной скорости заряда поля лучше связывать с теку­щими координатами, ибо компоненты поля в точке х, у, z за­висят только от (х-vt), у и z, которые являются компонентами вектора перемещения r_pиз постоянного положения заряда в точку (х, у, z) (фиг. 26.3).

Фиг. 26.3. Электрическое поле заряда, движущегося с постоянной скоростью, направ­лено по радиусу от истинного положения заряда.

Рассмотрим сначала точки, для которых z= 0. Поле Е в этих точках имеет только х- и y-компоненты. Из уравнений (26.3) и (26.6) видно, что отношение этих компонент как раз равно отно­шению х- и y-компонент вектора перемещения. Это означает, что направление Е совпадает с направлением r_p, как это пока­зано на фиг. 26.3. Тот же результат остается справедливым и для трех измерений, поскольку E_zпропорционально z. Короче говоря, электрическое поле заряда радиально и силовые линии расходятся от заряда так же, как и в стационарном случае. Конечно, вследствие наличия дополнительного фактора (1-v²) поле не будет тем же самым, что в стационарном случае. Но здесь мы можем увидеть нечто очень интересное. Дело обстоит так, как будто вы пишете закон Кулона в особой системе коорди­нат, «сжатой» вдоль оси x множителем Ц(1-v²) Если вы сделаете это, то силовые линии впереди и позади заряда разойдутся, а по бокам сгустятся (фиг. 26.4).

Если мы связываем обычным образом напряженность поля Е с плотностью силовых линий, то видим, что поле впереди и по­зади заряда ослабевает, но зато по бокам становится сильнее, т. е. как раз то, о чем говорит нам уравнение. Когда вы изме­ряете напряженность поля под прямыми углами к линии дви­жения, т. е. при (x-vt) = 0, расстояние от заряда будет равно y²+z², а полная напряженность Ц(E²_x+E²_y) в этих точках равна

(26.10)

Она, как и в случае кулонова поля, пропорциональна квад­рату расстояния, но еще усиливается постоянным множителем 1/Ц(1-v²), который всегда больше единицы. Таким образом, по бокам движущегося заряда электрическое поле сильнее, чем это следует из закона Кулона. Фактически увеличение по срав­нению с кулоновым потенциалом равно отношению энергии частицы к ее массе покоя.

Впереди заряда (или позади него) у и z равны нулю, а поэ­тому

(26.11)

Снова поле обратно пропорционально расстоянию от заряда, но теперь оно зарезается множителем (1-v²), что согласуется с картиной силовых линий. Если v/c мало, то v²/c²еще меньше, и действие (1-v²) почти незаметно, поэтому мы снова возвра­щаемся к закону Кулона. Но если частица движется со скоро­стью, близкой к скорости света, то поле перед частицей сильно уменьшается, а поле сбоку чудовищно возрастает.