6a. Электродинамика

Как можно найти закон преобразования полей? Нам изве­стны законы преобразования j и А, и мы знаем, как выражаются поля через j и А, так что отсюда нетрудно найти преобра­зования для Е и В. (Вы можете подумать, что у каждого вектора есть нечто, дополняющее его до четырехвектора, так что, напри­мер, с вектором Е можно связать некую величину, которая сде­лает его четырехвектором. То же самое относится и к В. Увы, это не так. Все оказывается совершенно непохожим на то, что можно было бы ожидать.) Для начала возьмем магнитное поле В, которое, конечно, равно СXА. Теперь мы знаем, что х -, у- и z-компоненты векторного потенциала — это только одна часть, помимо них есть еще и t-компонента. Кроме того, мы знаем, что у аналога оператора С наряду с производными по х, у и z есть также производная по t. Давайте же попытаемся найти, что получится, если мы произведем замену у на t, или z на t, или еще что-нибудь в этом духе.

Прежде всего обратите внимание на форму слагаемых, об­разующих компоненты В:

В слагаемые, образующие x-компоненту В, входят только z- и y-компоненты А. Предположим, мы назвали эту комби­нацию производных и компонент «zy-штукой», или сокращенно F_zy . Мы просто имеем в виду, что

(26.15)

Подобной же «штуке» равна и компонента В, но на сей раз это будет «xz-штука», а В_z, разумеется, равна «yx-штуке». Таким образом,

(26.16)

Посмотрим теперь, что получится, если мы попытаемся смастерить «штуки» типа «t», т. е. F_xtили F_tz(ведь природа дол­жна быть красива и симметрична по х, у, z и t). Что такое, например, F_tz? Разумеется, она равна

Но вспомните, ведь A_t=j, поэтому предыдущее выражение равно

Такое выражение нам уже встречалось раньше. Это почти z-компонента поля Е. Почти, за исключением неверного знака. Впрочем, мы забыли, что в четырехмерном градиенте произ­водная по t идет со знаком, противоположным производным по х, у и z. Так что на самом деле нам следует взять более умное обобщение, т. е. считать

(26.17)

Теперь она в точности равна — Е_г. Так же можно построить F_txи F_tvи получить три выражения:

А что, если оба индекса внизу будут t? Или оба будут х? Тогда мы получим выражения типа

т. е. просто нуль.

Итак, у нас есть шесть таких «F-штук». Кроме них, есть еще шесть полученных перестановкой индексов, но они не дают ни­чего нового, ибо

F_xy= -F_yx

и т. п. Таким образом, из шести возможных попарных комбина­ций четырех значений индексов мы получили шесть различных физических объектов, которые представляют компоненты В и Е.

Чтобы записать члены F в общем виде, мы воспользуемся обобщенными индексами m и v, каждый из которых может быть 0, 1, 2 или 3, обозначающих соответственно (как и в обычных четырехвекторах) t, x, у или z. Кроме того, все будет прекрасно согласовываться с нашими четырехмерными обозначениями, если F_mvопределить как

F_mv =С_mA_v-С_vA_m, (26.19)

помня при этом, что

То, что мы нашли, можно сформулировать так: в природе су­ществуют шесть величин, которые представляют различные сто­роны чего-то одного. Электрическое и магнитное поля, кото­рые в нашем обычном медленно движущемся мире (где нас не беспокоит конечность скорости света) рассматривались как со­вершенно отдельные векторы, в четырехмерном пространстве уже не будут ими. Они — часть некоторой новой «штуки».

Наше физическое «поле» на самом деле шестикомпонентный объект F_mv . Вот как обстоит дело в теории относительности. По­лученные результаты для F_mvсобраны в табл. 26.1.

Таблица 26.1 · компоненты f_mv

Вы видите, что мы сделали фактически обобщение векторного произведения. Мы начали с ротора и с того факта, что его свой­ства преобразования в точности такие же, как свойства преобра­зования двух векторов — обычного трехмерного вектора А и оператора градиента, который, как нам известно, ведет себя подобно вектору. Возвратимся на минуту к обычному вектор­ному произведению в трехмерном пространстве, например к мо­менту количества движения частицы. При движении частицы в плоскости важной характеристикой оказывается комбина­ция (xv_y—yv_x), а при движении в трехмерном пространстве появляются три подобные величины, которые мы назвали мо­ментом количества движения:

Затем (хотя сейчас вы, может быть, об этом и забыли) мы сотво­рили в гл. 20 (вып. 2) чудо: эти три величины превратились в компоненты вектора. Чтобы сделать это, мы приняли искус­ственное соглашение: правило правой руки. Нам просто повезло. И повезло потому, что момент L_tj (i и j равны х, у или z) ока­зался антисимметричным объектом, т. е.

L_ij= - L_ji, L_ii=0.

Из девяти возможных его величин независимы лишь три. И вот оказалось, что при изменении системы координат эти три опе­ратора преобразуются в точности, как компоненты вектора.