6a. Электродинамика

То же свойство позволяет записать в виде вектора и элемент поверхности. Элемент поверхности имеет две части, скажем dx и dy, которые можно представить вектором da, ортогональным к поверхности. Но мы не можем сделать этого же для четырех измерений. Что будет нормалью к элементу dxdy? Куда она направлена — по оси z или по t?

Короче говоря, для трех измерений оказывается, что ком­бинацию двух векторов типа L_ij, к счастью, снова можно пред­ставить в виде вектора, поскольку возникают как раз три члена, которые, выходит, преобразуются подобно компонен­там вектора. Для четырех измерений это, очевидно, невоз­можно, поскольку независимых членов шесть, а шесть ве­личин вы никак не представите в виде четырех.

Однако даже в трехмерном пространстве можно составить такую комбинацию векторов, которую невозможно представить в виде вектора. Предположим, мы взяли какие-то два вектора a=(а_х, a_y, a_z) и b=(b_x, b_y, b_z) и составили всевозможные различ­ные комбинации компонент типа a_xb_x, a_xb_yи т. д. Всего получается девять возможных величин:

Эти величины можно назвать Т' _ij.

Если теперь перейти в повернутую систему координат (скажем, относительно оси z), то при этом компоненты а и b изменяются. В новой системе а_хдолжно быть заменено на

Аналогичные вещи происходят и с другими компонентами. Девять компонент изобретенной нами величины T_ij., разу­меется, тоже изменяются. Например, T_xy =а_хb_упереходит в

или

Каждая компонента T_ij — это линейная комбинация ком­понент t_ij.

Итак, мы обнаружили, что из векторов можно сделать не только векторное произведение aXb, три компоненты которого преобразуют подобно вектору. Искусственно мы из двух векто­ров t_ij . можем сделать «произведение» другого сорта. Девять его компонент преобразуются при вращении по сложным правилам, которые можно выписать. Подобный объект, требующий для своего описания вместо одного индекса два, называется тензо­ром. Мы построили тензор «второго ранга», но так же можно поступить и с тремя векторами и получить тензор третьего ранга, а из четырех векторов — тензор четвертого ранга и т. д. Тензором первого ранга является вектор.

Суть всего этого разговора в том, что наше электромагнитное поле F_mv— тоже тензор второго ранга, так как у него два индек­са. Однако это уже тензор в четырехмерном пространстве. Он преобразуется специальным образом, и через минуту мы найдем его. Это просто произведение векторных преобразований. Если у тензора F _mv вы переставите индексы, то он изменит свой знак. Это особый вид тензора, и называется он антисимметричным. Иначе говоря, электрическое и магнитное поля являются частью антисимметричного тензора второго ранга в четырех­мерном пространстве.

Вот какой мы прошли длинный путь. Помните, мы начали с определения, что такое скорость? А теперь мы уже рассуждаем о «тензоре второго ранга в четырехмерном пространстве».

Теперь нам нужно найти закон преобразования F_mv. Сделать это нетрудно — мороки только много,— шевелить мозгами особенно не нужно, а вот потрудиться все же придется. Един­ственное, что мы должны найти,— это преобразование Лоренца величины С_m A_v— С_vA_m . Так как С_m — просто специальный слу­чай вектора, то мы будем работать с общей антисимметричной

комбинацией векторов, которую можно назвать G_mv :

(26.20)

(Для наших целей а_мследует, в конце концов, заменить на С_m, а b_m —на потенциал А_m .) Компоненты а_m и b_mпреобразуются по формулам Лоренца:

(26.21)

Теперь преобразуем компоненты G_{m v} . Начнем с G_tx:

Но ведь это просто G_tx. Таким образом, мы получили простой

результат G’_tx=G_tx.

Возьмем еще одну компоненту:

Итак, получается

И, конечно, точно таким же образом

А теперь ясно, как ведут себя все остальные компоненты. Давайте составим таблицу преобразований всех шести членов; только теперь мы будем все писать для величин F_mv:

(26.22)

Разумеется, по-прежнему у нас F_mv=—f'_mv, a F'_mm=0.

Итак, мы имеем преобразования электрических и магнитных полей. Единственное, что нам нужно сделать,— это заглянуть в табл. 26.1 и узнать, что означает для векторов Е и В преобра­зование, записанное для F_мv. Речь идет о простой подстановке. Чтобы можно было видеть, как это все выглядит в обычных сим­волах, перепишем наши преобразования компонент поля в виде табл. 26.2.

Таблица 26.2 · ЛОРЕНЦЕВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Уравнения в этой таблице говорят нам, как изменяются Е и В при переходе от одной инерциальной системы к другой. Если известны Е и В в одной системе, то мы можем найти, чему они равны в другой, движущейся относительно нее со скоростью v.

Можно переписать эти уравнения в форме, более легкой для запоминания. Для этого заметьте, что поскольку скорость v направлена по оси х, то все компоненты с v представляют собой векторные произведения vXE и vXB. Так что преобразования можно записать в виде табл. 26.3.

Таблица 26.3 · ДРУГАЯ ФОРМА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОЛЕЙ