9. Квантовая механика II

<протон летит по +z, спин по +z|H|L, спин по + z>= iha, (15.38)

где H — гамильтониан всего мира или по крайней мере той его части, которая ответственна за L-распад. Сохранение момента количества дви­жения означает, что у гамильтониана должно быть такое свойство:

<протон летит по +z, спин по -z|H|L, спин по +z>=0. (15.39)

Под амплитудой b подразумевается, что

<протон летит по + z, спин по —z|H|L, спин по -z>=ihb. (15.40)

Сохранение момента количества движения предполагает, что

<протон летит по + z, спин по +z|H|L, спин по -z>=0. (15.41)

Если вам не ясно, как написаны амплитуды (15.33) и (15.34), можно их записать в более математической форме. Когда мы писали (15.33), нам нужна была амплитуда того, что Л со спином, направленным по +z, распадается на протон, движущийся вдоль направления +z' и обладаю­щий спином, направленным тоже по +z', т. е.

<протон летит по + z', спин по +z'|H|L, спин по +z>. (15.42)

По общим теоремам квантовой механики эту амплитуду можно записать так:

2S<протон летит по + z', спин по +z'|H|L, i>i|L, спин по +z>,

(15.43)

где суммирование проводится но базисным состояниям |L, i> покоящейся L-частицы. Поскольку спин L-частнцы равен ¹/₂,таких состояний два, л каком бы базисе мы ни работали. Если в качестве базисных мы выберем состояния со спином, направленным вверх и вниз по отношению к оси z'(|+z'>, |-z'>), то амплитуда (15.43) будет равна сумме

<протон летит по +z', спин по +z'|H|L, +z'> + +<протон летит по +z', спин по +z'|H|L,-z'>. (15.44).

Первый множитель в первом слагаемом равен а [из (15.38)], а первый множитель во втором слагаемом равен нулю — из формулы (15.41), в свою очередь следующей из сохранения момента количества движения. Второй множитель из первого слагаемого — это как раз амплитуда того, что частица со спином ¹/₂, направленным вверх по одной оси, будет также обладать спином, направленным вверх по другой оси, повернутой относительно первой на угол q . Такая амплитуда равна cosq/2 [см. табл. 4.2 (вып. 8)]. Так что (15.44) равно просто а созq/2, как и было написано в (15.33). Амплитуда (15.34) следует из таких же рассуж­дений для L-частицы со спином, направленным вниз.

· · ·

§ 6. Сводка матриц поворота

Теперь мы хотим собрать воедино все, что мы узнали о пово­ротах частиц со спином ¹/₂ и спином 1; это будет удобно для дальнейшего. Ниже вы найдете таблицы двух матриц поворота R_z(j) и R_y(q) для частиц со спином ¹/₂, для частиц со спином 1 и для фотонов (частиц со спином 1 и нулевой массой).

Для каждого из них приведены элементы матрицы <j|R|i> по­воротов вокруг оси 2 или оси y. Они, конечно, в точности экви­валентны амплитудам типа <+Т|0S>, которыми мы поль­зовались в предыдущих главах. Под R_z(j) мы понимаем, что берется проекция состояния на новую систему координат, по­вернутую на угол j вокруг оси z, причем для определения направ­ления поворота всегда применяется правило правой руки; R_V(q) означает, что оси координат повернуты на угол 9 вокруг оси у. Зная эти два поворота, вы запросто сможете рассчитать любой поворот. Как обычно, матричный элемент пишется так, что со­стояние слева — это базисное состояние новой (повернутой) системы, а состояние справа — это базисное состояние старой (неповернутой) системы. Клетки таблицы можно истолковывать по-разному. К примеру, клетка e^ij/2 в табл. 15.1 означает, что матричный элемент < — |R|—> = е^-ij/2. Но это означает также, что R^| —>=е^-ij/2| — } или что

<— | R^=<— |e^-ij. Это все одно и то же.

* Вспомните, что спин — это аксиальный вектор и при отражении он переворачивается.

* Мы провели ось z' в плоскости xz и используем матричные элементы для R_y (q). То же получилось бы и при другом выборе осей.