Ампер. Классическая электродинамика

В начале XIX века уравнения в частных производных (также называемые уравнениями в частных дифференциалах) вызывали большой интерес. Их изучение было связано с некоторыми проблемами физики — в частности, с волновыми уравнениями и уравнениями распространения тепла. При этом имена Лапласа, Коши, Пуассона и Фурье знакомы студентам физических и инженерных факультетов, однако вряд ли они слышали имя Ампера в связи с этими научными дисциплинами. Дело в том, что Ампер больше занимался классификацией уравнений, нежели решением конкретных физических проблем. Его система классификации уравнений в частных производных была хорошо принята, однако ее быстро превзошла система немецкого математика Поля Давида Густава Дюбуа-Реймона (1831-1889), и даже современные математики используют его терминологию. Превосходство системы немецкого математика объясняется очевидными пробелами в работе Ампера. Определения, предложенные французским ученым, неточны, обозначения сложны, теоремы не выстроены по степени важности, а примеры не развернуты. И все же оригинальность работы Ампера была замечена научным сообществом, и ему в 1815 году предложили стать членом Французской академии наук. Работы Ампера были высоко оценены и шотландским математиком Эндрю Расселом Форсайтом (1858-1942), известным среди историков науки благодаря своим многочисленным трактатам. В прекрасном девятитомнике под названием «Теория дифференциальных уравнений» (1890-1906) Форсайт неоднократно упоминает Ампера и положительно оценивает его вклад в изучение дифференциальных уравнений:

«Метод Ампера для интегрирования уравнений в частных производных представлен в двух выдающихся сообщениях во Французском Институте в 1814 году. Приложение метода к уравнениям первого порядка сегодня малоактуально по причине открытия других методов обращения с указанными уравнениями. Приложение же этого метода к уравнениям второго порядка необыкновенно важно. Доклады кажутся сложнее, чем они есть на самом деле, главным образом по причине сложности обозначений».

Ампер начинает свой доклад об уравнениях в частных производных, заменяя переменные, содержащие производные, заданные функцией z(x, у). Обозначим p = ∂z/∂x и q = ∂z/∂y, а вторые производные — r = ∂²z/∂x², s = ∂²z/∂x∂y, t=∂²z/∂y^2; явная функция выражается следующим образом:ƒ(х, у, z,p, q, r, s, t) = 0. Из этого Ампер выводит классификацию уравнений в частных производных, и на этом уровне проявляются неточности. Затем Ампер касается вопроса произвольных решений, который может возникать при рассмотрении уравнения в частных производных, и здесь начинается самая интересная часть доклада, в которой Ампер показывает, что уравнение в частных производных порядка т имеет общее решение, состоящее из по крайней мере т произвольных функций.

УРАВНЕНИЕ МОНЖА — АМПЕРА

В 1820 году, снова в Политехнической школе, Ампер опубликовал вторую работу об уравнениях в частных производных под названием «Приложение теории интегралов к уравнениям в частных производных первого и второго порядка». Если в работе 1815 года не хватало конкретных примеров, то новая работа была очень подробной, и в ней использовались новые знания. Здесь стоит упомянуть об уравнении, известном сегодня как уравнение Монжа — Ампера, которое записывается следующим образом:

Hr + 2Ks + Lt + M + N(rt-s²) = 0,

где H, К, L, M, N являются функциями первого порядка х, у, z, p и q. Первым к такому уравнению обратился французский математик Гаспар Монж (1746-1818), основатель современной описательной геометрии, хотя Ампер обобщил это уравнение и нашел его решения для конкретных случаев, без прямого приложения к физике. Однако последний пример касается волнового уравнения в упругой среде, которое Ампер решил, используя метод французского физика и математика Симеона Дени Пуассона (1781-1840). Этот пример показывает, что Ампер был знаком с математическими исследованиями того времени о дифференциальных уравнениях, несмотря на свой интерес к чистой математике. Ампер интересовался и геометрией. Об этом свидетельствует его статья 1808 года «О пользе для теории кривых линий, извлекаемой из рассмотрения соприкасающихся парабол».

ВСТУПЛЕНИЕ В ИНСТИТУТ ФРАНЦИИ И РАБОТА В ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЙ ШКОЛЕ