Антология реалистической феноменологии

2. Существует принципиальная возможность установить определенную и взаимную корреляцию между всеми точками пути обоих объектов движения или, обобщеннее, между всеми точками двух отрезков линий различной длины. Очевидно, здесь мы в столь же малой степени, как и в первом случае, имеем дело с движением или с движущимся, но имеем дело единственно с отношениями между геометрическими единствами, между математическими величинами. Следовательно, парадоксы отнюдь не имеют только форономическое значение и форономическую ценность. Они находят значительно более широкое применение – мы могли бы сказать, что они, по сути, содержатся в каждой геометрической, алгебраической и арифметической формуле. Чтобы убедиться в этом, проще всего перевести парадоксы Зенона на математический язык и привести при этом несколько элементарных примеров:[346]

а) Дихотомия. Возьмем переменную Х на отрезке от О до А; тогда аргумент «дихотомия» состоит в указании, что переменная должна проходить в определенной последовательности все величины от О до А.

в) Ахиллес. Две переменные связаны отношением Y = A X. Каждой величине X соответствует одна и только одна величина Y, и наоборот. Несмотря на это, Y возрастает быстрее, чем X, пока, наконец, не становится Y = X + C.

c) Стрела. Переведенный на математический язык аргумент «стрела» означает следующее: все величины одной переменной являются постоянными.

d) Стадий. Этот аргумент еще раз показывает нам, что можно установить однозначное и взаимное соотношение между всеми точками двух или нескольких отрезков линий – невзирая на их данную величину; этот факт выражен формулой Y = A X.

Добавим сюда еще несколько простых примеров, которые позволят нам еще лучше понять смысл парадоксов Зенона, как абстрактных формул, освобожденных от форономических облачений. Мы хотим представить в рамках декартовых координат простейшую мыслимую формулу: Y = X.

Линия, заданная этой формулой, есть, очевидно, прямая. Каждая точка этой прямой с необходимостью имеет соответствующую точку на линии абсцисс, и наоборот: ни одна точка не может отсутствовать, а также ни одна не может соответствовать нескольким. Несмотря на это, O Xn < O Xn Yn. Другой пример, который можно рассматривать как геометрическое представление как «Ахиллеса», так и «стадия»: возьмем две параллельные прямые А и В; если угодно, даже равной величины. Пересечем теперь эти прямые перпендикуляром С, которому мы позволим вращаться относительно лежащей не на параллельных прямых точки О. Очевидно, что каждому положению точки О соответствуют две точки на прямых А и В и что, следовательно, все точки на прямой А находятся в однозначной и взаимной корреляции с точками прямой В – это притом, что соответствующий отрезок на прямой В равен лишь части отрезка на прямой А.

На это нам невозможно возразить, что вращением прямой С мы снова ввели движение; ведь вращающаяся прямая представляет не что иное, как пучок лучей, который исходит из точки О.

Возьмем какую-нибудь кривую линию, например, окружность. Как известно, в каждой точке окружности можно провести касательную, причем можно провести столько касательных, чтобы окружности не была «искривлена» ни в одной точке самой себя. Стало быть, где она тогда искривляется? Совершенно очевидно, что мы снова сталкиваемся с неискоренимой проблемой стрелы – а именно: «где» движется движущееся и как оно вообще движется, когда оно не движется ни в одной точке своего пути? Здесь в случае с окружностью, так же, как и в аргументе Зенона, можно найти выход из положения в отношении данной точки с непосредственно соседней или непосредственно следующей за ней в столь же малой мере (как это сделал Эвеллин), а именно попросту потому, что такой непосредственно соседней или следующей точки вообще нет. Тотчас же перед нами встает проблема «дихотомии», так как кажется невозможным перейти от начального положения к непосредственно следующему, поскольку такого следующего вообще не существует. Итак, как возможно движение?

§ 10. Бесконечное – Декарт

Ранее мы видели, что аргументы Зенона относятся ко всем проблемам и ко всем фундаментальным концепциям геометрии – теперь мы увидим, что они точно так же относятся к арифметике, и что, так сказать, невозможно сделать ни шага в сфере математики, чтобы не столкнуться с «дихотомией». Поскольку аргументы Зенона основываются на очевидных затруднениях, связанных с понятием бесконечного, в этом, собственно, нет ничего удивительного. Мы должны встречать затруднения повсюду, где мы сталкиваемся с концепцией бесконечности – но она находится, так сказать, повсюду, особенно в математике, собственную основу которой она представляет. Следовательно, если мы хотим всерьез признать само по себе противоречие, которое присуще понятию бесконечности, то мы должны также единым махом перечеркнуть все математические науки и осудить не только теорию функций и исчисление бесконечно малых, но также всю Эвклидову геометрию и арифметику.