Антология реалистической феноменологии

Больцано отчетливо признал законность и объективную необходимость актуальной бесконечности. В небольшой книге «Парадоксы бесконечного» (Регенсбург, 1837) он показал парадоксальный характер выводов, которые при этом хотят получить, и одновременно доказал совершенно иллюзорную природу мнимых противоречий, создав понятие эквивалентности, в области бесконечного соответствующее равенству для конечных чисел и сумм. Ибо хотя гипотеза, согласно которой конечное число должно быть равно своей половине, очевидно, противоречива и абсурдна, но никоим образом не в отношении того, что бесконечное целое эквивалентно своей части. Так, например, количество конечных чисел с необходимостью бесконечно, а именно актуально бесконечно – здесь мы должны рассматривать числа в качестве данных до акта счета; несмотря на это, количество всех четных или всех простых чисел нельзя определить – в чем мы легко можем убедиться, если установим однозначное и взаимное сочетание совокупности всех чисел с совокупностью четных или простых чисел. Аналогично этому, количество всех рациональных чисел или даже всех алгебраических чисел не «больше» количества целых чисел. Все эти множества эквивалентны между собой, и количество всех алгебраических чисел не больше количества чисел как таковых в границах О и I, или обобщеннее выраженного в каких-нибудь заданных пределах. Вследствие этой зафиксированности мы легко понимаем, почему возможность сочетать все без остатка точки двух различных отрезков пути ни в коей мере не подразумевает равенства этих отрезков. Эквивалентность не означает равенство; дело в том, что первая относится к бесконечному, а последнее к конечному.

§ 12. Георг Кантор

Кантор, развивший идеи Больцано далее, пришел к гораздо более интересным результатам. Он дерзко сделал исходным пунктом своих исследований понятие бесконечного множества, бесконечного количества и таким образом обосновал «арифметику бесконечного». Применив понятие порядка к бесконечности, он создал понятие трансфинитного порядкового числа. Мы можем далее не заниматься этой теорией, мы коснемся здесь только следующих отдельных моментов:

1. Кантор определяет бесконечное множество посредством его свойства быть эквивалентным собственной части или, как говорит он, быть со своей частью одной мощности. При этом оказывается, что формально конечное множество можно определить не иначе, как посредством негативного свойства: не быть равной мощности с частью самого себя: это, со своей стороны, означает, что данное множество как раз не является бесконечным. Вследствие этого в логической конструкции арифметики понятие бесконечного и теория множеств должны были бы предшествовать арифметике конечных чисел, логически предшествовать ей, служить ее фундаментом. Понятие бесконечного – это предпосылка в арифметике, так же, как и в геометрии. Более глубокая причина заключается в самой сущности конечного числа. Поскольку ряд конечных чисел с необходимостью продолжается до бесконечности, то, видимо, понятие бесконечности уже должно содержаться в определении конечного числа.

2. Исследования Кантора о понятии предела и континуума привели к результату исключительной важности: континуум не равен по мощности рассчитываемому бесконечному, но в сравнении с ним обладает бесконечно большей мощностью. Итак, существуют, по меньшей мере, две бесконечности![349]