Апология математики (сборник статей)

В 1-м разделе статьи «Zur Deutung…» («К толкованию…») Колмогоров наполняет формулы интуиционистской пропозициональной логики новым содержанием, свободным от философских предпосылок интуиционизма. Именно он предлагает рассматривать каждую такую формулу не как утверждение, а как проблему (т. е. как требование указать или построить объект, подчинённый тем или иным заранее заданным условиям). Понятие проблемы, или задачи, есть одно из фундаментальных понятий логики; Колмогоров был первым, кто включил это понятие в логико-математический дискурс (здесь идеи Колмогорова предвосхитили так называемую семантику реализуемости Клини – Нельсона). Предложенная Колмогоровым интерпретация интуиционистской логики близка к концепции Гейтинга, однако у последнего отсутствует четкое различение между суждением и проблемой. Существенным этапом в становлении логического мышления явилось предложенное Колмогоровым уточнение представления о сводимости одной проблемы к другой. Сам Колмогоров впоследствии так определял цель статьи: «Работа писалась в надежде на то, что логика решения задач сделается со временем постоянным разделом курса логики. Предполагалось создание единого логического аппарата, имеющего дело с объектами двух типов – высказываниями и задачами». Во 2-м разделе статьи выдвигается и обосновывается следующий взгляд: с интуиционистской точки зрения нельзя, вообще говоря, рассматривать отрицание общего суждения в качестве содержательного суждения. «Но тогда, – указывает Колмогоров, – исчезает предмет интуиционистской логики, поскольку теперь принцип исключённого третьего оказывается справедливым для всех суждений, для которых отрицание вообще имеет смысл. Возникает, однако, новый вопрос: какие логические законы справедливы для суждений, отрицание которых не имеет смысла?»

Сочинения Колмогорова, имеющие философскую составляющую

Книги

Основные понятия теории вероятностей. – М.: Наука 1974. – 119 с.

Введение в математическую логику. – М: Изд-во МГУ, 1982. – 120 с. (Соавтор А. Г. Драгалин.)

Математическая логика: Дополнительные главы. – М.: Изд-во МГУ, 1984. – 119 с. (Соавтор А. Г. Драгалин.)

Избранные труды: В 6 т. Т. 4: Математика и математики: В 2 кн. / Отв. ред. и сост. А. Н. Ширяев; подготовка текста Т. В. Толозова, Н. Г. Xимченко. – М.: Наука, 2007.

Математика – наука и профессия: Сб. статей / Сост. Г. А. Гальперин. – М.: Физматлит, 1988. – 288 с.

Математика в её историческом развитии: Сб. статей / Сост. Г. А. Гальперин; Под ред. В. А. Успенского. – М.: Физматлит, 1991. – 223 с.

Новгородское землевладение XV века. – М.: Физматлит, 1994. – 128 с.

Статьи

Современные споры о природе математики // Научное слово. 1929. № 6. С. 41–54.

Современная математика: Сб. статей по философии математики / Под ред. С. А. Яновской. – М.: ОНТИ, 1936. – С. 7–13.

Теория и практика в математике // Фронт науки и техники. 1936. № 5. С. 32–42.

Предисловие // А. Гейтинг. Обзор исследований по основаниям математики. – М.: ОНТИ, 1936. – С. 3–4.

Аксиома // Большая Советская Энциклопедия. – 2-е изд. – Т. 1. – М.: Сов. энциклопедия, 1949. – С. 613–616.

Предисловие редактора перевода // Р. Петер. Рекурсивные функции. – М.: Иностр. лит., 1954. – С. 3–10.

Тезисы о кибернетике [от 20 января 1957 г.] // Очерки истории информатики в России / Ред. – сост. Д. А. Поспелов, Я. И. Фет. – Новосибирск: Научно-издат. центр ОИГГМ СО РАН, 1998. – С. 142–145.

Информация // Большая Советская Энциклопедия. – 2-е изд. – Т. 51. – М.: Сов. энциклопедия, 1958. – С. 129–130.

Кибернетика // Большая Советская Энциклопедия. – 2-е изд. – Т. 51. – М.: Сов. энциклопедия, 1958. – С. 149–151.

Предисловие // У. Р. Эшби Введение в кибернетику. – М.: Иностр. лит., 1958. – С. 5–8.

Автоматы и жизнь: Тез. докл. // Машинный перевод и прикладная лингвистика. Вып. 6. – М.: 1961. – С. 3–8. [Перепечатано в сб.: Очерки истории информатики в России. / Ред. – сост. Д. А. Поспелов, Я. И. Фет. – Новосибирск: Научно-издат. центр ОИГГМ СО РАН, 1998. – С. 147–150.]

Жизнь и мышление как особые формы существования материи // О сущности жизни / Отв. ред. Г. М. Франк, А. М. Кузин. – М.: Наука, 1964. – С. 48–57.

Бесконечность в математике // Большая Советская Энциклопедия. – 3-е изд. – Т. 3. – М.: Сов. энциклопедия, 1970. – С. 264–265.

Вероятность // Большая Советская Энциклопедия. – 3-е изд. – Т. 4. – М.: Сов. энциклопедия, 1971. – С. 544.

Элементы логики в современной школе // Математика в школе. 1971. № 3. С. 91–92.

О воспитании на уроках математики и физики диалектико-материалистического мировоззрения // Математика в школе. 1978. № 3. С. 6–9.

Диалектико-материалистическое мировоззрение в школьном курсе математики и физики // Квант. 1980. № 4. С. 15–18.

Письма А. Н. Колмогорова к А. Гейтингу // Успехи математич. наук. 1988. Т. 43. Вып. 6. С. 75–77.

Семиотические послания // Новое литературное обозрение. 1997. № 24. С. 216–245.

Литература о Колмогорове