Апология математики (сборник статей)

Помещаемая ниже статья А. Н. Колмогорова «Современные споры о природе математики» была впервые опубликована в 1929 г. в журнале «Научное слово» (№ 6, с. 41–54). Через 77 лет она, с моими комментариями, была перепечатана в журнале «Проблемы передачи информации» за 2006 г. (т. 42, вып. 6, с. 129–141). Публикуя эту труднодоступную в наши дни статью[178], редакция журнала преследовала цель не только познакомить читателя с малоизвестным сочинением классика науки, но и сделать его заинтересованным наблюдателем научного прогресса. Дело в том, что в конце XIX – начале XX в. в математике возникли и укоренились абстракции столь высокого уровня, что актуальной стала проблема их соотношения с реальностью. Эта проблема волновала ряд крупнейших математиков того времени, и статья Колмогорова была весьма актуальной. Уже через год после первой публикации статьи появились первые ошеломляющие результаты Гёделя, давшие ответ на ряд затронутых в статье вопросов и одновременно внёсшие математическую строгость в самоё постановку этих вопросов.

Со статьёй Колмогорова перекликаются отдельные места некоторых других статей данного сборника, прежде всего «Апологии математики» и «Семи размышлений».

Затекстовые комментарии нацелены в основном на то, чтобы дать представление о современном положении дел. Непосредственно в тексте они отмечены заключёнными в квадратные скобки цифрами от [1] до [21]. В остальном колмогоровский текст печатается в том виде, в каком он был опубликован в «Научном слове», без каких-либо изменений, за исключением немногочисленных орфографических и пунктуационных поправок. Сопровождавшие статью комментарии редакции «Научного слово» – а именно предварявшая статью преамбула и подстрочные примечания – опущены[179].

I

Никогда ещё претензия математики на незыблемость и общезначимость её выводов не подвергалась столь суровым испытаниям, как в настоящее время. Недаром французский математик Гадамар [1] по поводу некоторых математических споров выставил недавно гипотезу, что причина несогласий кроется в разности осмотического давления в клеточках мозга или ещё каком-либо различии, столь же мало поддающемся устранению посредством логических доказательств. Если эта гипотеза и носит несколько шуточный характер, то самая безнадёжность прийти к соглашению по некоторым вопросам очень остро ощущается многими. Так, ещё в 1905 г. в «пяти письмах о теории множеств» [2] несколько французских математиков, в том числе Гадамар и Борель, высказали прямо противоположные мнения по поводу незадолго до этого предложенного Цермело так называемого принципа произвольного выбора. То, что казалось Гадамару совершенно очевидным и не требующим никаких доказательств, Борелю представлялось отнюдь не очевидным и даже лишённым всякого смысла. Лебег и Бер [3] в своих письмах высказали ещё новые оттенки взглядов на тот же вопрос. Все эти различные мнения остаются непримирёнными до настоящего времени.