Апология математики (сборник статей)

Теперь часто предпочитают построение действительного числа, отправляясь непосредственно от целых чисел. Так, можно объявить действительным числом просто всякую последовательность натуральных чисел, рассматриваемую как последовательность неполных частных непрерывной дроби. Последовательность натуральных чисел, в которой каждому номеру места в последовательности соответствует определённое число, есть не что иное, как целочисленная функция от целочисленного аргумента. Аналогично, имея два множества, строят множество всех функций, ставящих в соответствие каждому элементу первого множества некоторый элемент второго множества.

Если к этим принципам присоединить ещё сложение множеств, то мы получаем возможность, исходя от натурального ряда целых чисел, построить запас элементов достаточной мощности, чтобы составить из них системы, удовлетворяющие самым разнообразным требованиям.

III

Предыдущие краткие указания были направлены главным образом к тому, чтобы сделать ясным, насколько теоретико-множественная точка зрения глубоко проникла во всю современную математику. Общая теория множеств с её специальными проблемами, правда, остаётся несколько изолированной, но её методы получают всё большее преобладание в изложении классических отраслей математики и постепенно проникают в элементарные учебники.

Мы могли различить в этой концепции математики две стороны: с одной стороны, имеются теории, постулирующие существование бесконечных систем объектов, удовлетворяющих известным аксиомам, и формально извлекающие из этих аксиом свойства изучаемой системы; с другой стороны, признаётся необходимой ещё конструкция соответствующих объектов исходя из натурального ряда или ещё какого-либо запаса элементарных объектов. Последние годы показали, что устойчивого равновесия между этими двумя сторонами достигнуто не было. С известным приближением можно формулировать выдвинутые в новейшее время точки зрения так: Гильберт предлагает сохранить только первую, формальную, часть математики, освободив нас от необходимости конструкции посредством своей теории непротиворечивости; Броуэр, напротив, ценит по преимуществу конструктивную часть, но думает, что конструкция не в состоянии дать нам то законченное существование бесконечных совокупностей, которое требуется для свободного применения ставших обычными в математике способов рассуждений, и поэтому требует коренного пересмотра приёмов математического доказательства.

Появление этих крайних точек зрения объясняется тем, что соединение обеих сторон теоретико-множественной математики привело к большим затруднениям и даже противоречиям. Общим источником этих затруднений является следующее. Математики привыкли обращаться с числами, функциями, множествами так, как будто бы это были вещи реального мира, во всём подобные материальным.

Уже самоё предпочтение термина «вещь» (Ding) термину «предмет» (Gegenstand) [10] достаточно характерно в этом отношении; а именно о системе «вещей» говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», так же как и большинство математиков. Между тем такой взгляд в общей теории множеств приводит к противоречиям.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим известный парадокс Ресселя. Предположим при этом, что все логические классы существуют наподобие столбов, к которым протянуты проволоки от всех входящих в них вещей… Если сам класс является элементом самого себя, то наш должен выступать в двойной роли: элемента класса и столба, этот класс отображающего. Исходящая от него как от элемента проволока должна возвращаться к нему же как к столбу, отображающему весь класс элементов. Выделим теперь все те столбы, к которым каждая проволока прикреплена только одним концом, это те классы, которые не содержат сами себя в качестве элемента. Среди них, например, не будет класса всех классов. Выделенные столбы образуют вполне определённый класс вещей. Следовательно, должен уже существовать столб, к которому сходятся проволоки от всех выделенных столбов. Когда мы спросим себя, принадлежит ли последний столб к числу выделенных, мы и получим без труда противоречие. Если он принадлежит к их числу, то от него должна исходить проволока, возвращающаяся к нему же, что невозможно, ибо слова «принадлежит к их числу» означают, что он сам есть один из таких столбов, к которым каждая проволока прикреплена только одним концом; если же он не принадлежит к их числу, то такой проволоки не должно быть, что опять приводит к противоречию, ибо в таком случае, не имея проволоки, прикреплённой к нему двумя концами, он сам должен принадлежать к числу выделенных нами столбов.

Существует много объяснений этого парадокса, но все они сводятся к тому, что запрещается рассматривать совокупность всех классов в виде законченной совокупности, иначе говоря, к отрицанию законности нашей аналогии с действительными вещами.