Апология математики (сборник статей)

Вне общей теории множеств «совокупность всех классов» не нужна математикам. Если более осторожно ограничиваться множествами «вещей», действительно необходимых, то прямых противоречий не получается. Еще до сих пор наиболее популярным среди избегавших философии математиков выходом из создавшегося затруднительного положения и является ограничение области «существующего». Так, почти общим мнением является, что трансфинитные числа третьего класса «не существуют» [11]; относительно трансфинитных чисел второго класса, не изобразимых аналитически функций и некоторых других пограничных предметов мнения расходятся; наконец, целые и действительные числа, непрерывные и другие «приличные» функции большинством признаются за существующие. Само собой разумеется, что принимаются за существующие и конечные комбинации существующих предметов: например, комплексные числа, рассматриваемые как пары действительных.

Такая позиция, хотя и является наиболее спокойной, страдает беспринципностью, которая особенно наглядно выражается в том, что границы области «признаваемого» тем или иным математиком стоят в явной зависимости от его личных интересов: не заинтересованные в сохранении каких-нибудь трансфинитных чисел с лёгким сердцем выбрасывают их за борт; занимающиеся их исследованием противятся этому.

Так как не было выработано никакого разумного критерия для разграничения «математически существующего» и «несуществующего», то математики, ставшие на описанную точку зрения, оказались беззащитными против угроз лишить их на тех же основаниях, на которых они добровольно отказались от роскоши общей теории множеств, и многих предметов первой необходимости. Так, Вейлем было запрещено говорить о верхнем пределе числовой последовательности; были объявлены не имеющими смысла вопросы о существовании целого числа, обладающего тем или иным свойством; наконец, был совсем изгнан непрерывный континуум, вместо которого было предложено счётное множество точек, включающее все алгебраические и элементарно-трансцендентные точки и будто бы вполне достаточное для всех практических нужд математиков.

Но и по поводу вопросов, выдвинутых математической практикой, а не спекуляциями общей теории множеств, возникли если не противоречия, то затруднения, имеющие тот же источник – чрезмерно реалистическое отношение к тем «вещам», с которыми имеет дело математическая теория. Здесь следует указать прежде всего на вопрос о так называемой аксиоме Цермело, или «принципе произвольного выбора», который уже упоминался в начале статьи. Тщательный анализ выяснил, что этот принцип, не будучи точно формулирован, неоднократно применялся в элементарных учебниках [12]. Общая формулировка его такова: если имеется множество множеств, содержащих каждое хотя бы по одному элементу, то существует множество, имеющее по одному и только одному общему элементу с каждым данным множеством [13]. Было предложено следующее популярное изъяснение этого принципа: имеется большое количество пар сапог, требуется образовать множество, содержащее по одному элементу каждой пары; очевидно, достаточно для этого из каждой пары взять правый сапог.

Именно такого рода грубо реалистические аналогии заставляют многих считать аксиому Цермело совершенно очевидной. Но она пришла в безнадёжное столкновение с тем представлением, что математическое существование должно быть поддержано соответствующей конструкцией [14]. Обнаружилось, что действительное определение множества, существование которого постулируется в аксиоме Цермело, часто является делом совершенно безнадёжным. К тому же те объекты, существование которых доказывается при помощи этой аксиомы, оказались не только ненужными, но иногда и разрушающими простоту и стройность важных математических теорий [15]. Так, например, без аксиомы Цермело мы умеем строить только «измеримые» точечные множества, т. е. такие, которым можно приписать определённое число – их меру, – вполне аналогическое длине отрезка; есть все основания думать, что другого рода множества вообще нельзя построить [16]; между тем из аксиомы Цермело следует «существование» неизмеримых множеств [17].

IV

Таким образом, мы видим, что постулируемое при аксиоматическом изложении той или иной математической теории «существование» соответствующих предметов не находит достаточной опоры в тех конструкциях, которые нам известны. Наиболее естественным выходом из положения является, отбросив аксиоматический путь, изучить своеобразную природу тех объектов, которые мы можем конструировать, и вывести отсюда, какие свойства можно им приписывать и по каким законам рассуждать о них. Это и делает Броуэр.

В основу своих построений Броуэр кладёт последовательность, закономерность определённых предметов, например натуральных чисел. Они заданы законом образования каждого следующего из предыдущего. Каждое из них обозначается определённой комбинацией известных символов в конечном числе, например по обычной десятичной системе. После этого Броуэр считает натуральные числа вполне хорошо определёнными.