Апология математики (сборник статей)

Первой теорией, которая получила строгое абстрактное изложение, т. е. изложение, ничего не предлагающее относительно природы элементов, образующих изучаемую систему, была теория групп.

Именно Кэли в 1854 г. было предложено называть «группой» всякую систему элементов, для каждых двух из которых определён третий элемент, называемый их «произведением», если только это произведение удовлетворяет известным перечисленным им условиям, например условию (АВ)С = А(ВС). Приведём два примера групп. Группой будет совокупность тех вращений куба вокруг его центра, которые совмещают его с самим собой[180]. Число различных таких вращений равно 24. Группой же будет совокупность всевозможных перестановок четырёх символов. Число таких перестановок тоже равно 24. Больше того, внутренняя структура этих двух групп, на первый взгляд не имеющих между собой ничего общего, совершенно тождественна. С точки зрения абстрактной теории это одна и та же группа. Именно в возможности абстрактную теорию применять в самых различных случаях, придавая основным её терминам то или иное конкретное значение, и заключается одно из основных преимуществ новой точки зрения.

Отчётливое понимание абстрактной природы геометрии мы встречаем впервые в 1871 г. у Клейна, который показал, что каждая из трёх разработанных к тому времени систем геометрии допускает много различных применений. Так, например, сферы и окружности, ортогональные к одной данной сфере в евклидовом пространстве, обладают всеми свойствами плоскостей и прямых геометрии Лобачевского. Поэтому из каждой теоремы геометрии Лобачевского мы можем одним изменением терминов получать теорему о сферах и окружностях евклидова пространства.

Абстрактное изложение теории чисел было дано Пеано, для чего ему понадобились только три аксиомы. Но целые числа сохраняют и в современной математике особое положение. В самом деле, математика изучает системы предметов, отвлекаясь от природы каждого из них. Но сама система, если она конечна, состоит из определённого числа предметов. Так, абстрактные группы классифицируются по их «порядку», числу элементов. Здесь число фигурирует не как нечто удовлетворяющее аксиомам Пеано, а как понятие с вполне определённым содержанием.

Отстаивая такое особое положение в математике целого числа, Пуанкаре, безусловно, высказывал мнение большинства математиков.

Зато теорию действительных чисел (дробных и иррациональных) современная математика склонна рассматривать как абстрактную теорию, так как конкретное их осуществление достаточно разнообразно[181]. Система аксиом, определяющая действительное число, дана в одном из приложений к «Основаниям» Гильберта.

Для того чтобы абстрактная теория имела смысл, необходимо существование хотя бы одной системы предметов и отношений, удовлетворяющей выставленным аксиомам [8]. Когда дело идёт о системах из конечного числа элементов, вопрос решается крайне просто, так как такая система может быть непосредственно материально осуществлена. Так и поступают в теории конечных групп: группу задают таблицей её элементов и их произведений.

Много сложнее вопрос об абстрактных системах геометрии. Первоначальной моделью математического пространства было физическое пространство нашего внешнего опыта. Но, во-первых, геометрия идеализирует данные непосредственного опыта, что разрушает однозначность связи между элементами математического пространства и наблюдаемыми элементами пространства физического. Во-вторых, теперь мы имеем уже не одно математическое пространство, а бесчисленное их множество, причём неизвестно, которое из них является наиболее точной моделью пространства физической действительности. Поэтому приходится конструировать образцы различных пространств аналитическим путём. Так, для доказательства реальности данной им системы аксиом евклидова пространства Гильберт рассматривает пространство, в котором точки являются просто тройками действительных чисел – их координат. Точно так же и другие виды пространств легко строятся при помощи чисел. Но и сами действительные числа нуждаются в конструкции.

Обычно при конструктивном определении числа предполагают уже данными целые числа, как определённые их реальным значением. Правда, логисты (Пеано, Рессель) пытались обойтись без этого, но мы увидим дальше, что действительные тенденции логистики [9] оказались очень далёкими от рассматриваемой сейчас концепции.

Рациональные числа строятся без труда посредством пар целых чисел, изображающих их в виде дроби. Существенно новый принцип пришлось ввести Дедекинду для определения произвольного действительного числа. Дедекинд определяет действительное число как сечение в ряду рациональных чисел, т. е. использует для определения одного действительного числа разбиение рациональных чисел на два бесконечных множества. Это приводит нас к одному из основных конструктивных принципов теории множеств – переходу от данного множества к множеству его частей.