Апология математики (сборник статей)

Изгоняя из математики то, что считалось предметом её исследования, Гильберт приходит к выводу, что математическая теория является просто системой формул. Эти формулы не выражают никаких суждений, так как самые предметы, о которых они могли бы что-либо высказывать, упраздняются. Соответственно с этим математическое доказательство не есть больше доказательство в обычном смысле слова, это просто ряд операций над формулами, производимых по определённым вычислительным правилам, приводящих в конце к «доказываемой» формуле. «Непротиворечивость» математической теории, по Гильберту, тоже нельзя понимать в обычном смысле слова, это просто свойство принятых аксиом и вычислительных правил никогда не приводить к формулам специального вида, заранее объявленным ложными: например, 0=1.

Непротиворечивости в указанном смысле, как это ни странно, достаточно, чтобы оправдать законность практических применений математики. Именно, оказывается, что если в результате не имеющих никакого смысла формальных выкладок мы приходим к формуле, допускающей реальное истолкование, например к числовому равенству, то это реальное истолкование тем самым будет действительно доказано. Непротиворечивость же Гильберт обещает доказать для весьма широкого круга аксиом, включая в их число и разбиравшуюся выше аксиому Цермело [19].

Наиболее уязвимым пунктом Гильбертовой теории является то, что для доказательства непротиворечивости математических аксиом ему приходится построить новую дисциплину «метаматематику» [20], и есть опасения, что в «метаматематике» возродятся все трудности, изгнанные из математики.

Именно этот ряд идей Гильберта является естественным завершением логистики Пеано и Ресселя, которые, на словах оставаясь приверженцами теоретико-множественной точки зрения, в действительности работали над полной формализацией математики. Но для успеха этой формализации до последнего времени не хватало именно методов доказательства непротиворечивости, которые только и позволяют отказаться от всякого реального толкования формул.

Работы Гильберта по формализации математики и доказательству непротиворечивости ещё не закончены, что, естественно, затрудняет оценку действительной силы его методов [21].

VI

С теоретико-познавательской стороны точка зрения Гильберта сводится к строгому ограничению конечным; все математические предложения, в которые так или иначе входит бесконечность, объявляются лишёнными всякого смысла. Правда, с блестящим искусством Гильберт восстанавливает забракованные математические теории в виде формальной непротиворечивой игры символами. Всё же этот выход, не дающий никакого объяснения, чем же держалась математика до настоящего времени, почему, высказывая о бесконечности суждения, не имеющие никакого смысла, математики понимали друг друга, продиктован только неумением найти выход более удовлетворительный.

Это заставляет отнестись с особым вниманием к Броуэру, который, не пугаясь проблемы, обещает выяснить природу бесконечного.

Но позволительно сомневаться, что интуиция и конструкция новых образов, исходя из натурального ряда, окажутся при этом надёжными руководителями. В частности, Броуэр изучает континуум в форме бесконечных последовательностей натуральных чисел, так как только в такой форме его естественно получать чисто логическими средствами. Исторически же идея континуума создалась посредством идеализации действительно наблюдаемых непрерывных сред; пока трудно представить себе, как отсюда извлечь опору для развития математической теории, но только это было бы прямым путём к пониманию природы математического континуума.

Комментарии

1. Написание собственных имён во всех случаях оставлено таким, как оно было в исходном тексте. В 20-е гг. XX в. при передаче кириллицей иностранных имён стремились в большей степени отразить их написание, нежели произношение. Впоследствии тенденция сменилась на противоположную, и сейчас фамилия французского математика Hadamard передаётся как Адамар.

2. Имеются в виду письма, которыми обменялись между собой Адамар, Борель, Бэр и Лебег: Cinq lettres sur la théorie des ensembles // Bulletin de la societé mathématique de France. 1905. T. 22. P. 261–273. Возникшая по инициативе Бореля, эта переписка публиковалась затем во втором и последующих изданиях его «Лекций по теории функций» (Borel Е. Leçons sur la théorie des functions. 2ème éd., augmentée. Paris, 1914), а также в собрании его трудов (Œvres de Emile Borel. Paris, 1972. P. 1253–1265).

3. Сейчас французская фамилия Baire передаётся как Бэр.