Апология математики (сборник статей)

Рассмотрение счётных множеств и, в частности, натурального ряда требует менее высокого уровня абстракции, чем рассмотрение множеств континуальных. (Ведь даже представление о множестве всех точек прямой – это довольно сложная абстракция.) Поэтому счётная аксиома выбора вызывает меньше недоверия, нежели континуальная (и тем более нежели связанная с ещё более высокими мощностями). Вот что в 1905 г. писал Борель о несчётной аксиоме выбора в краткой заметке, давшей толчок к его упоминавшейся переписке с Адамаром и др.: «Возражения, которые можно выставить здесь, действительны и для всякого рассуждения, в котором предполагается произвольный выбор, совершённый несчётное множество раз; такие рассуждения находятся вне пределов математики» (Remarques sur les principes de la théorie des ensembles // Mathematische Annalen. 1905. B. 60. S. 194–195). При любом конкретном применении аксиомы выбора можно ограничиться её частным вариантом, связанным с конкретной мощностью соответствующей коллекции множеств. Иногда удаётся добиться понижения этой мощности, как это мы видели только что на примере континуальной аксиомы выбора.

В функциональном анализе используется и аксиома выбора в общем виде (т. е. в той формулировке, где на мощность рассматриваемой коллекции множеств не налагается никаких ограничений): она участвует, например, в доказательстве теоремы Хана – Банаха. С её помощью доказывается и теорема о том, что каждый фильтр на каком-либо множестве вкладывается в ультрафильтр на том же множестве и, как следствие, что на всяком бесконечном множестве существует нетривиальный (он же свободный) ультрафильтр, т. е. такой ультрафильтр, который не содержит конечных множеств. Аксиома выбора в общем виде эквивалентна известной лемме Цорна, широко используемой в абстрактной алгебре, а также теореме Цермело о том, что всякое множество можно вполне упорядочить. В вышеназванной краткой заметке Борель указывал, что в теореме Цермело фактически доказывается не утверждение о возможности полного упорядочения любого множества, а лишь эквивалентность этого утверждения аксиоме выбора.

18. Термин «неперечислимый» используется здесь в смысле 'несчётный'. В наши дни такая терминология не применяется, а указанный термин имеет другое значение. (Это другое значение связано с теорией алгоритмов. А именно: непустое множество конструктивных объектов называется перечислимым, коль скоро его можно расположить в вычислимую последовательность, и неперечислимым – в противном случае; пустое множество считается перечислимым по определению.)

19. Применительно к аксиоме Цермело обещание Гильберта было осуществлено Куртом Гёделем в 1938 г. Гёдель доказал, что добавление этой аксиомы к другим, «менее спорным», аксиомам теории множеств не в состоянии вызвать противоречия – при условии, правда, что совокупность этих других аксиом сама непротиворечива. При том же условии через четверть века было доказано (это сделал Коэн), что аксиома Цермело не выводима из других аксиом теории множеств. При этом непротиворечивость системы аксиом теории множеств (будь то с аксиомой Цермело или без оной) приходится принимать на веру, поскольку доказать её невозможно в принципе – по крайней мере с помощью тех средств, которые доступны современной математике; это вытекает из так называемой второй теоремы Гёделя.

20. Метаматематикой называют дисциплину, объектом которой являются математические теории (это, так сказать, «теория теорий»).

21. В 1930 г. надежда на то, что программа Гильберта в своём развитии способна охватить всю математику, была разрушена знаменитой теоремой Гёделя о неполноте (называемой также первой теоремой Гёделя). Согласно этой теореме, при любой разумной попытке формализовать понятие доказательства неизбежно обнаруживаются утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть в рамках избранной формализации. Такие утверждения называются неразрешимыми (в данной теории!). Ясно, что если утверждение неразрешимо, то неразрешимо и его отрицание. Каждое неразрешимое утверждение можно без появления противоречий присоединить к исходным аксиомам теории; в расширенной таким способом теории наше утверждение перестанет быть неразрешимым: оно станет доказуемым, а его отрицание – опровержимым. Однако для расширенной теории снова можно будет указать неразрешимое в ней утверждение и т. д.